Um fabricante de caixas deve produzir uma caixa fechada com um volume de 288 cm^3, onde a base deve é um retângulo com o comprimento três vezes maior que a largura.
b) Qual é a menor área da superfície dessa caixa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um fabricante que precisa fazer uma caixa fechada com um volume de . A base dessa caixa é um retângulo onde o comprimento é três vezes maior que a largura. Vamos usar conceitos de geometria e cálculo para encontrar a menor área de superfície dessa caixa. Para resolver, vamos precisar entender como calcular volume e área de superfície de uma caixa retangular, e como otimizar essas medidas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar a largura da base de cm. Como o comprimento é três vezes a largura, o comprimento será cm. A altura da caixa será cm.

Passo 3

Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Segundo o enunciado, o volume é igual a . Então:
Podemos resolver essa equação para :

Passo 4

Agora, vamos calcular a área de superfície da caixa. A área de superfície de uma caixa retangular é a soma das áreas de todas as suas faces:
Substituindo os valores:

Passo 5

Já expressamos em termos de no Passo 3. Vamos substituir na fórmula da área de superfície:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o valor de que minimiza a área de superfície . Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:
Resolvendo para :

Passo 7

Com , podemos encontrar usando a expressão do Passo 3:
Agora, podemos calcular a área de superfície mínima substituindo e na fórmula do Passo 4:

Resposta

A menor área da superfície dessa caixa é .

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