Um fabricante de caixas deve produzir uma caixa fechada com um volume de
, onde a base deve é um retângulo com o comprimento três vezes maior que a largura.
b) Qual é a menor área da superfície dessa caixa?
b) Qual é a menor área da superfície dessa caixa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um fabricante que precisa fazer uma caixa fechada com um volume de
. A base dessa caixa é um retângulo onde o comprimento é três vezes maior que a largura. Vamos usar conceitos de geometria e cálculo para encontrar a menor área de superfície dessa caixa. Para resolver, vamos precisar entender como calcular volume e área de superfície de uma caixa retangular, e como otimizar essas medidas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar a largura da base de
cm. Como o comprimento é três vezes a largura, o comprimento será
cm. A altura da caixa será
cm.
Passo 3
Sabemos que o volume da caixa é dado por:
Segundo o enunciado, o volume
é igual a
. Então:
Podemos resolver essa equação para
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área de superfície da caixa. A área de superfície
de uma caixa retangular é a soma das áreas de todas as suas faces:
Substituindo os valores:
Passo 5
Já expressamos
em termos de
no Passo 3. Vamos substituir
na fórmula da área de superfície:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o valor de
que minimiza a área de superfície
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Igualando a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Com
, podemos encontrar
usando a expressão do Passo 3:
Agora, podemos calcular a área de superfície mínima substituindo
e
na fórmula do Passo 4:
Resposta
A menor área da superfície dessa caixa é
.