Esboce a região
e) Do
quadrante do plano cartesiano limitada pelas curvas
.
e) Do
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região do primeiro quadrante do plano cartesiano que é limitada pelas curvas
,
,
e pela reta
. Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e funções para entender como essas curvas se comportam e onde elas se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma das curvas que temos:
-
: Essa é a reta do eixo y. No primeiro quadrante, ela representa o limite esquerdo da nossa região. -
: É uma linha horizontal constante, já que é uma constante (~2,718). Ela vai cortar as outras curvas onde . -
: Essa é uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes. No primeiro quadrante, ela desce do infinito quando está próximo de 0 e se aproxima de 0 conforme aumenta. -
: Essa é uma parábola que abre para cima, começando no ponto (0,0).
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para saber os cantos da nossa região.
Primeiro, igualamos
e
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então,
(já que
). Substituindo em uma das equações para encontrar
:
Então, as curvas
e
se encontram no ponto
.
Agora, vamos ver onde
e
se encontram:
Então, o ponto de interseção é
.
E onde
e
se encontram:
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção:
-
entre e -
entre e -
entre e
Podemos desenhar cada uma dessas curvas no primeiro quadrante e identificar a região que está limitada por todas elas.
Passo 5
Vamos esboçar rapidamente:
- Desenhe o eixo y (
). - Desenhe a linha horizontal
. - Trace a hipérbole
, que passa por e . - Trace a parábola
, que passa por e .
Passo 6
A região que estamos procurando fica entre a hipérbole
e a parábola
, limitada pela linha horizontal
e pelo eixo y (
). É uma área fechada no primeiro quadrante com os pontos de interseção que encontramos.
Resposta
A região do primeiro quadrante limitada pelas curvas
,
,
e
é o espaço fechado entre essas curvas, com vértices nos pontos
,
e
.