Esboce a região
e) Do quadrante do plano cartesiano limitada pelas curvas y = 1/x, y = x^2, y = e e x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região do primeiro quadrante do plano cartesiano que é limitada pelas curvas , , e pela reta . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica e funções para entender como essas curvas se comportam e onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma das curvas que temos:
  • : Essa é a reta do eixo y. No primeiro quadrante, ela representa o limite esquerdo da nossa região.
  • : É uma linha horizontal constante, já que é uma constante (~2,718). Ela vai cortar as outras curvas onde .
  • : Essa é uma hipérbole que está no primeiro e terceiro quadrantes. No primeiro quadrante, ela desce do infinito quando está próximo de 0 e se aproxima de 0 conforme aumenta.
  • : Essa é uma parábola que abre para cima, começando no ponto (0,0).

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre essas curvas para saber os cantos da nossa região.
Primeiro, igualamos e :
Multiplicando ambos os lados por :
Então, (já que ). Substituindo em uma das equações para encontrar :
Então, as curvas e se encontram no ponto .
Agora, vamos ver onde e se encontram:
Então, o ponto de interseção é .
E onde e se encontram:
Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção:
  • entre e
  • entre e
  • entre e
Podemos desenhar cada uma dessas curvas no primeiro quadrante e identificar a região que está limitada por todas elas.

Passo 5

Vamos esboçar rapidamente:
  1. Desenhe o eixo y ( ).
  2. Desenhe a linha horizontal .
  3. Trace a hipérbole , que passa por e .
  4. Trace a parábola , que passa por e .

Passo 6

A região que estamos procurando fica entre a hipérbole e a parábola , limitada pela linha horizontal e pelo eixo y ( ). É uma área fechada no primeiro quadrante com os pontos de interseção que encontramos.

Resposta

A região do primeiro quadrante limitada pelas curvas , , e é o espaço fechado entre essas curvas, com vértices nos pontos , e .

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