Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de
. O conteúdo envolvido aqui é o método da substituição, que usamos para simplificar integrais complicadas transformando uma parte da expressão para facilitar o cálculo. Então, vamos precisar identificar qual parte da integral vamos substituir para resolver.
Passo 2
Primeiro, observamos a parte da função que podemos substituir. No caso, o expoente
está em conexão direta com o
. Vamos definir uma nova variável
para simplificar essa expressão. Então, deixamos:
Isso vai nos ajudar a transformar a integral para uma forma mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir o
na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:
Vamos usar essa relação na nossa integral.
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Agora a integral está em termos de
, que é mais simples de resolver.
Passo 5
Agora, integramos
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta por
para retornar à variável original:
Resposta
A integral indefinida de
é:
Exercícios relacionados
Calcule
pela definição:
Calcule
pela definição:
Demonstre as identidades, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas.
[Nota: o exercício pede a demonstração das identidades, mas não é necessário fazer isso: precisamos apenas conhecer essas fórmulas, não é necessário justificá-las.]
[Nota: o exercício pede a demonstração das identidades, mas não é necessário fazer isso: precisamos apenas conhecer essas fórmulas, não é necessário justificá-las.]
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa indicada: