Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de . O conteúdo envolvido aqui é o método da substituição, que usamos para simplificar integrais complicadas transformando uma parte da expressão para facilitar o cálculo. Então, vamos precisar identificar qual parte da integral vamos substituir para resolver.

Passo 2

Primeiro, observamos a parte da função que podemos substituir. No caso, o expoente está em conexão direta com o . Vamos definir uma nova variável para simplificar essa expressão. Então, deixamos:
Isso vai nos ajudar a transformar a integral para uma forma mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:
Vamos usar essa relação na nossa integral.

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Agora a integral está em termos de , que é mais simples de resolver.

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta por para retornar à variável original:

Resposta

A integral indefinida de é:

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Calcule pela definição:
Calcule pela definição:
Demonstre as identidades, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas.
[Nota: o exercício pede a demonstração das identidades, mas não é necessário fazer isso: precisamos apenas conhecer essas fórmulas, não é necessário justificá-las.]
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa indicada: