Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas: integral x e^x^2 d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de . O conteúdo envolvido aqui é o método da substituição, que usamos para simplificar integrais complicadas transformando uma parte da expressão para facilitar o cálculo. Então, vamos precisar identificar qual parte da integral vamos substituir para resolver.

Passo 2

Primeiro, observamos a parte da função que podemos substituir. No caso, o expoente u = x^2 está em conexão direta com o . Vamos definir uma nova variável para simplificar essa expressão. Então, deixamos:
Isso vai nos ajudar a transformar a integral para uma forma mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a x , dx = du2 para substituir o na integral. Calculando a derivada:
Isso significa que:
Vamos usar essa relação na nossa integral.

Passo 4

Substituímos integral x e^x^2 , dx = integral e^u cdot du2 = 12 integral e^u , du e na integral original:
Agora a integral está em termos de , que é mais simples de resolver.

Passo 5

Agora, integramos 12 integral e^u , du = 12 e^u + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos 12 e^x^2 + C de volta por para retornar à variável original:

Resposta

A integral indefinida de 12 e^x^2 + C é:

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