Demonstre as identidades, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas.
[Nota: o exercício pede a demonstração das identidades, mas não é necessário fazer isso: precisamos apenas conhecer essas fórmulas, não é necessário justificá-las.]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. O exercício trata de identidades envolvendo operações vetoriais como divergente (div), rotacional (rot), produto escalar (·) e produto vetorial (×). A gente vai precisar saber como essas operações funcionam e como elas se comportam quando combinamos vetores e funções escalares.

Passo 2

Primeiro, temos a identidade da divergente da soma de dois vetores:
Isso significa que a divergente de dois vetores somados é igual à soma das divergentes de cada vetor individualmente. É tipo distribuir a divergente sobre a soma.

Passo 3

Agora, vamos ver a divergente de um produto de uma função escalar por um vetor :
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas. A divergente de é o vezes a divergente de mais o gradiente de ponto com .

Passo 4

Vamos para a divergente do produto vetorial de dois vetores e :
Essa identidade relaciona a divergente do produto vetorial com o rotacional dos vetores. Basicamente, é como se a divergente do “twist” de e fosse a diferença dos rotacionais pontuados.

Passo 5

Agora, vamos analisar o rotacional do rotacional de um vetor :
Essa é uma identidade importante que mostra como o rotacional do rotacional está relacionado ao gradiente da divergente e ao laplaciano de . É muito usada em equações de campo, como no eletromagnetismo.

Passo 6

Seguimos com a rotacional da soma de dois vetores:
Assim como com a divergente, a rotacional também distribui sobre a soma. É como somar os “giro” de cada vetor separadamente.

Passo 7

Vamos ver a rotacional de um produto escalar :
Aqui, aplicamos a regra do produto para o rotacional. A rotacional de é vezes a rotacional de mais o gradiente de cruzado com .

Passo 8

Por último, temos a divergente do produto vetorial de dois gradientes:
Essa identidade diz que a divergente do “twist” entre dois gradientes é sempre zero. Isso faz sentido porque os gradientes são vetores conservativos, e seu produto vetorial não tem “fonte” ou “sumidouro”.

Resposta

Resumindo, entendemos e revisamos todas as identidades vetoriais apresentadas, sabendo como aplicar cada uma delas conforme a necessidade. Essas fórmulas são fundamentais em cálculos de campos vetoriais e facilitam muito na resolução de problemas em física e engenharia.

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Calcule pela definição: