Demonstre as identidades, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas.
[Nota: o exercício pede a demonstração das identidades, mas não é necessário fazer isso: precisamos apenas conhecer essas fórmulas, não é necessário justificá-las.]
[Nota: o exercício pede a demonstração das identidades, mas não é necessário fazer isso: precisamos apenas conhecer essas fórmulas, não é necessário justificá-las.]
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. O exercício trata de identidades envolvendo operações vetoriais como divergente (div), rotacional (rot), produto escalar (·) e produto vetorial (×). A gente vai precisar saber como essas operações funcionam e como elas se comportam quando combinamos vetores e funções escalares.
Passo 2
Primeiro, temos a identidade da divergente da soma de dois vetores:
Isso significa que a divergente de dois vetores somados é igual à soma das divergentes de cada vetor individualmente. É tipo distribuir a divergente sobre a soma.
Passo 3
Agora, vamos ver a divergente de um produto de uma função escalar
por um vetor
:
Aqui, usamos a regra do produto para derivadas. A divergente de
é o
vezes a divergente de
mais o gradiente de
ponto com
.
Passo 4
Vamos para a divergente do produto vetorial de dois vetores
e
:
Essa identidade relaciona a divergente do produto vetorial com o rotacional dos vetores. Basicamente, é como se a divergente do “twist” de
e
fosse a diferença dos rotacionais pontuados.
Passo 5
Agora, vamos analisar o rotacional do rotacional de um vetor
:
Essa é uma identidade importante que mostra como o rotacional do rotacional está relacionado ao gradiente da divergente e ao laplaciano de
. É muito usada em equações de campo, como no eletromagnetismo.
Passo 6
Seguimos com a rotacional da soma de dois vetores:
Assim como com a divergente, a rotacional também distribui sobre a soma. É como somar os “giro” de cada vetor separadamente.
Passo 7
Vamos ver a rotacional de um produto escalar
:
Aqui, aplicamos a regra do produto para o rotacional. A rotacional de
é
vezes a rotacional de
mais o gradiente de
cruzado com
.
Passo 8
Por último, temos a divergente do produto vetorial de dois gradientes:
Essa identidade diz que a divergente do “twist” entre dois gradientes é sempre zero. Isso faz sentido porque os gradientes são vetores conservativos, e seu produto vetorial não tem “fonte” ou “sumidouro”.
Resposta
Resumindo, entendemos e revisamos todas as identidades vetoriais apresentadas, sabendo como aplicar cada uma delas conforme a necessidade. Essas fórmulas são fundamentais em cálculos de campos vetoriais e facilitam muito na resolução de problemas em física e engenharia.
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Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:
Calcule
pela definição:
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa indicada:
Calcule
pela definição: