Calcule f'(x) (dica: encontre uma fórmula usando exponencial, e^x ) f(x) = e^x x^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções exponenciais e aplicar a regra do produto, que é essencial quando temos duas funções multiplicando uma à outra.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas funções que estão se multiplicando:
Para encontrar a derivada de , a gente vai usar a Regra do Produto.

Passo 3

A Regra do Produto diz que se , então a derivada é:
Então, vamos calcular e separadamente.

Passo 4

Calculando :
Calculando :
é uma função um pouco mais complicada. Para derivar , podemos reescrever ela usando o logaritmo:
Agora, vamos derivar usando a Regra da Cadeia:
Calculando a derivada dentro:
Portanto,

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Produto:
Fatorando :

Resposta

A derivada de é:

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