Esboce o gráfico de e destaque
a) O domínio de
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento;
c) Concavidade e ponto de inflexão;
d) Limites para e ;
e) As raízes de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é esboçar o gráfico da função e destacar alguns pontos importantes. Para isso, vamos precisar entender conceitos de domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, limites e raízes de funções polinomiais. Vamos por partes!

Passo 2

a) Determinar o domínio de
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de funções polinomiais, como a nossa, elas estão definidas para todos os números reais. Ou seja:
í

Passo 3

b) Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento
Para descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo, precisamos calcular a primeira derivada de .
Agora, vamos encontrar os valores de onde :
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, temos duas soluções:
Agora, vamos testar os intervalos definidos por esses valores para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
Então, resumindo:
  • Cresce em e
  • Decresce em

Passo 4

c) Determinar a concavidade e o ponto de inflexão
Para isso, vamos calcular a segunda derivada de :
Agora, encontramos onde :
Esse valor de é um candidato a ponto de inflexão. Vamos verificar a concavidade nos intervalos ao redor de :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
Portanto, a concavidade muda em , que é um ponto de inflexão.

Passo 5

d) Calcular os limites quando tende a e
Para funções polinomiais, o comportamento no infinito é determinado pelo termo de maior grau.
  • Conforme , o termo domina, e como o coeficiente é positivo:
  • Conforme , novamente o termo domina, mas como está negativo e o grau é ímpar:

Passo 6

e) Encontrar as raízes de
As raízes são os valores de que tornam :
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais, que sugere testar divisores do termo constante ( ).
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, podemos fatorar o polinômio usando :
Agora, resolvendo :
Portanto, as raízes são e . Observamos que aparece duas vezes, mas na análise gráfica, isso indica apenas um ponto onde a curva cruza o eixo .

Resposta

Resumindo, o gráfico de apresenta:
a) Domínio: Todos os números reais, .
b) Cresce em e ; Decresce em .
c) Concavidade para baixo em , concavidade para cima em , com ponto de inflexão em .
d) e .
e) Raízes em e .
Com essas informações, você pode esboçar o gráfico destacando esses pontos e comportamentos!

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