Esboce o gráfico de
e destaque
a) O domínio de
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento;
c) Concavidade e ponto de inflexão;
d) Limites para
e
;
e) As raízes de
.
a) O domínio de
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento;
c) Concavidade e ponto de inflexão;
d) Limites para
e) As raízes de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer é esboçar o gráfico da função
e destacar alguns pontos importantes. Para isso, vamos precisar entender conceitos de domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, limites e raízes de funções polinomiais. Vamos por partes!
Passo 2
a) Determinar o domínio de
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de funções polinomiais, como a nossa, elas estão definidas para todos os números reais. Ou seja:
Passo 3
b) Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento
Para descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo, precisamos calcular a primeira derivada de
.
Agora, vamos encontrar os valores de
onde
:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, temos duas soluções:
Agora, vamos testar os intervalos definidos por esses valores para saber onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, :
Então, resumindo:
- Cresce em
e - Decresce em
Passo 4
c) Determinar a concavidade e o ponto de inflexão
Para isso, vamos calcular a segunda derivada de
:
Agora, encontramos onde
:
Esse valor de
é um candidato a ponto de inflexão. Vamos verificar a concavidade nos intervalos ao redor de
:
-
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, :
Portanto, a concavidade muda em
, que é um ponto de inflexão.
Passo 5
d) Calcular os limites quando
tende a
e
Para funções polinomiais, o comportamento no infinito é determinado pelo termo de maior grau.
-
Conforme
, o termo domina, e como o coeficiente é positivo: -
Conforme
, novamente o termo domina, mas como está negativo e o grau é ímpar:
Passo 6
e) Encontrar as raízes de
As raízes são os valores de
que tornam
:
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o teorema das raízes racionais, que sugere testar divisores do termo constante (
).
Testando
:
Então,
é uma raiz. Agora, podemos fatorar o polinômio usando
:
Agora, resolvendo
:
Portanto, as raízes são
e
. Observamos que
aparece duas vezes, mas na análise gráfica, isso indica apenas um ponto onde a curva cruza o eixo
.
Resposta
Resumindo, o gráfico de
apresenta:
a) Domínio: Todos os números reais,
.
b) Cresce em
e
; Decresce em
.
c) Concavidade para baixo em
, concavidade para cima em
, com ponto de inflexão em
.
d)
e
.
e) Raízes em
e
.
Com essas informações, você pode esboçar o gráfico destacando esses pontos e comportamentos!
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