Determine os valores extremos das seguintes funções abaixo nos intervalos dados:
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar os valores extremos da função
no intervalo de
. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especialmente sobre funções e seus pontos máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que a gente tem:
. Essa é uma função composta por uma raiz quadrada, o que nos indica que o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero para termos números reais. Então, vamos garantir que
.
Passo 3
Resolvendo a inequação
, podemos reescrever como
. Multiplicando por -1 (e lembrando que isso inverte o sinal da inequação), ficamos com
.
Passo 4
Vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Com as raízes encontradas, podemos determinar onde a expressão
é verdadeira. Testando intervalos entre as raízes, descobrimos que a inequação é satisfeita para
. Como nosso intervalo original é
, está tudo dentro do intervalo onde a função está definida.
Passo 6
Agora, para encontrar os valores extremos da função no intervalo dado, precisamos encontrar os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos. Para isso, derivamos a função e buscamos onde a derivada é zero ou não está definida.
Passo 7
Calculando a derivada de
em relação a
:
Usando a regra da cadeia:
Passo 8
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Passo 9
Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Resposta
Os valores extremos da função são:
- Mínimo:
em - Máximo:
em
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(dica: encontre uma fórmula usando exponencial,
)
Determine os pontos críticos da função dada, classifiqueos (máximo local, mínimo local, inflexão) e esboce o gráfico.
Determine os valores extremos das seguintes funções abaixo nos intervalos dados: