Determine os valores extremos das seguintes funções abaixo nos intervalos dados: .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar os valores extremos da função no intervalo de . Isso envolve entender um pouco de cálculo, especialmente sobre funções e seus pontos máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que a gente tem: . Essa é uma função composta por uma raiz quadrada, o que nos indica que o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero para termos números reais. Então, vamos garantir que .

Passo 3

Resolvendo a inequação , podemos reescrever como . Multiplicando por -1 (e lembrando que isso inverte o sinal da inequação), ficamos com .

Passo 4

Vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, podemos determinar onde a expressão é verdadeira. Testando intervalos entre as raízes, descobrimos que a inequação é satisfeita para . Como nosso intervalo original é , está tudo dentro do intervalo onde a função está definida.

Passo 6

Agora, para encontrar os valores extremos da função no intervalo dado, precisamos encontrar os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos. Para isso, derivamos a função e buscamos onde a derivada é zero ou não está definida.

Passo 7

Calculando a derivada de em relação a :
Usando a regra da cadeia:

Passo 8

Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Isso acontece quando o numerador é zero:

Passo 9

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo:
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Resposta

Os valores extremos da função são:
  • Mínimo: em
  • Máximo: em

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