Calcule
e
onde
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema onde precisamos encontrar a derivada da função
e depois calcular essa derivada no ponto
.
Aqui, estamos lidando com o cálculo diferencial, especificamente com a regra do quociente para derivadas. Vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas, exponenciais e polinomiais, além de aplicar a regra do quociente para funções que são divisões de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra do quociente. Se temos uma função
, então a derivada
é dada por:
Ou seja, a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo denominador ao quadrado.
Passo 3
Agora, vamos identificar
e
na nossa função:
Precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Vamos derivar
:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos derivar
:
A derivada de
é
(usando a regra do poder), e a derivada de
é
.
Então:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra do quociente:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, multiplicamos
por
:
Então, a primeira parte fica:
Agora, temos:
Passo 8
Para simplificar ainda mais, vamos deixar a expressão como está, já que está bastante reduzida. Assim, a derivada de
é:
Passo 9
Agora, vamos calcular
onde
. Basta substituir
por 1 na expressão da derivada:
Primeiro, calculamos o denominador:
Então:
Agora, o numerador:
Sabemos que
, então a última parte é zero. Portanto:
Resposta
Portanto, a derivada da função
é:
E, especificamente, no ponto
:
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