Calcule e onde e

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema onde precisamos encontrar a derivada da função e depois calcular essa derivada no ponto .
Aqui, estamos lidando com o cálculo diferencial, especificamente com a regra do quociente para derivadas. Vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas, exponenciais e polinomiais, além de aplicar a regra do quociente para funções que são divisões de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do quociente. Se temos uma função , então a derivada é dada por:
Ou seja, a derivada do numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 3

Agora, vamos identificar e na nossa função:
Precisamos encontrar e .

Passo 4

Vamos derivar :
A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos derivar :
A derivada de é (usando a regra do poder), e a derivada de é .
Então:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, multiplicamos por :
Então, a primeira parte fica:
Agora, temos:

Passo 8

Para simplificar ainda mais, vamos deixar a expressão como está, já que está bastante reduzida. Assim, a derivada de é:

Passo 9

Agora, vamos calcular onde . Basta substituir por 1 na expressão da derivada:
Primeiro, calculamos o denominador:
Então:
Agora, o numerador:
Sabemos que , então a última parte é zero. Portanto:

Resposta

Portanto, a derivada da função é:
E, especificamente, no ponto :

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