Calcule e onde e

Passo 1

Beleza, temos a função . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função, ou seja, , e depois calcular o valor dessa derivada no ponto , que é . Para isso, vamos usar algumas regras de derivação, como a regra da soma, a regra do produto e as derivadas de funções básicas como potências e exponenciais.

Passo 2

Vamos começar derivando cada termo da função separadamente. Primeiro, olhemos para o termo .
Sabemos que pode ser escrito como . A derivada de em relação a é . Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar o segundo termo da função: .
Aqui temos um produto de duas funções: e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que se e são duas funções deriváveis, então:
Aplicando isso aqui:
  • e
  • e
Então:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 4

Agora, juntando as derivadas dos dois termos que calculamos:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular , substituindo na expressão da derivada:
Simplificando cada parte:

Resposta

A derivada da função é:
E o valor da derivada no ponto é:

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Calcule as derivadas das funções abaixo