Calcule e onde e

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de e, em seguida, avaliar essa derivada em . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar derivar. Temos:
  • Função numeradora:
  • Função denominadora:
Para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a regra do quociente:
onde e .

Passo 3

Vamos calcular agora as derivadas de e .
Primeiro, . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é . Aqui, temos:
Segundo, . A derivada de uma potência de é:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente usando os valores encontrados:
Simplificando o denominador:

Passo 5

Simplificamos o numerador:
Podemos fatorar :
Então, a derivada fica:

Passo 6

Simplificando ainda mais, podemos dividir cada termo do numerador por :

Passo 7

Agora, vamos avaliar a derivada em .
Sabemos que:
Substituindo na expressão de :

Resposta

A derivada de é
e, avaliada em , temos

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