Calcule
e
onde
e
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de e, em seguida, avaliar essa derivada em
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar derivar. Temos:
- Função numeradora:
- Função denominadora:
Para derivar uma função que é o quociente de duas funções, usamos a regra do quociente:
onde e
.
Passo 3
Vamos calcular agora as derivadas de
e
.
Primeiro, . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aqui, temos:
Segundo,
. A derivada de uma potência de
é:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente usando os valores encontrados:
Simplificando o denominador:
Passo 5
Simplificamos o numerador:
Podemos fatorar
:
Então, a derivada fica:
Passo 6
Simplificando ainda mais, podemos dividir cada termo do numerador por
:
Passo 7
Agora, vamos avaliar a derivada em
.
Sabemos que:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
A derivada de
é
e, avaliada em
, temos
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