Calcule :
(o)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de . Isso está ligado ao cálculo de derivadas, especificamente quando temos funções que são potências onde a base e o expoente dependem da variável . Para resolver isso, vamos usar a diferenciação logarítmica, que é uma técnica útil quando temos uma função nessa forma mais complicada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação. Então, vamos ter:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz , vamos simplificar o lado direito:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que quando diferenciamos , usamos a regra da cadeia, e quando diferenciamos o lado direito, usamos a regra do produto.
Primeiro, diferenciando o lado esquerdo:
Agora, diferenciando o lado direito:
Para a segunda parte, precisamos derivar :
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora, queremos isolar . Para isso, multiplicamos ambos os lados por :
Lembrando que :

Resposta

A derivada de é:

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© Calcule as derivadas parciais de .
Calcule :
(k)
Seja uma função diferenciável tal que . Calcule nos pontos em que .
Consideremos a situação onde areia escoa numa ampulheta, isto acontece de modo que a areia vá formando um cone na parte inferior, cujo raio é sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de escoamento da areia é constante e é de , determine a taxa de crescimento da altura do cone, após 5 minutos do início do fenômeno.