Calcule
:
(o)
(o)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
. Isso está ligado ao cálculo de derivadas, especificamente quando temos funções que são potências onde a base e o expoente dependem da variável
. Para resolver isso, vamos usar a diferenciação logarítmica, que é uma técnica útil quando temos uma função nessa forma mais complicada.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação. Então, vamos ter:
Passo 3
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz
, vamos simplificar o lado direito:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se de que quando diferenciamos
, usamos a regra da cadeia, e quando diferenciamos o lado direito, usamos a regra do produto.
Primeiro, diferenciando o lado esquerdo:
Agora, diferenciando o lado direito:
Para a segunda parte, precisamos derivar
:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora, queremos isolar
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
:
Lembrando que
:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Considere a função
. (Note que é um paraboloide elíptico)
© Calcule as derivadas parciais de .
© Calcule as derivadas parciais de
Calcule
:
(k)
(k)
Seja
uma função diferenciável tal que
. Calcule
nos pontos em que
.
Consideremos a situação onde areia escoa numa ampulheta, isto acontece de modo que a areia vá formando um cone na parte inferior, cujo raio é sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de escoamento da areia é constante e é de
, determine a taxa de crescimento da altura do cone, após 5 minutos do início do fenômeno.