Seja
uma função diferenciável tal que
. Calcule
nos pontos em que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável
que satisfaz a equação
. A gente precisa descobrir a derivada dessa função, ou seja,
, nos pontos onde
. Para resolver isso, vamos usar o método de derivação implícita, que é útil quando a função não está isolada em um dos lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação em relação a
. Isso significa que vamos derivar
e igualar à derivada de 5.
Passo 3
Derivando
em relação a
, usamos a regra básica da potência:
Então, a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Aqui, usamos a regra da cadeia, que é quando temos uma função dentro de outra função. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
. No nosso caso,
, então:
Passo 5
Igualamos agora a soma das derivadas à derivada do lado direito da equação original. A derivada de uma constante, como 5, é 0. Então temos:
Passo 6
Queremos isolar
para encontrar a sua expressão. Vamos mover
para o outro lado da equação:
Agora, dividimos ambos os lados por
(lembre-se que
, conforme a condição dada):
Resposta
Portanto, a derivada de
é:
Exercícios relacionados
Calcule
:
(o)
(o)
Considere a função
. (Note que é um paraboloide elíptico)
© Calcule as derivadas parciais de .
© Calcule as derivadas parciais de
Consideremos a situação onde areia escoa numa ampulheta, isto acontece de modo que a areia vá formando um cone na parte inferior, cujo raio é sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de escoamento da areia é constante e é de
, determine a taxa de crescimento da altura do cone, após 5 minutos do início do fenômeno.
Calcule
:
(e)
(e)