Seja f: R -> R uma função diferenciável tal que 3 x^2 + sen(f(x)) = 5. Calcule f'(x) nos pontos em que cos(f(x)) != 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável que satisfaz a equação . A gente precisa descobrir a derivada dessa função, ou seja, , nos pontos onde . Para resolver isso, vamos usar o método de derivação implícita, que é útil quando a função não está isolada em um dos lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos derivar e igualar à derivada de 5.

Passo 3

Derivando em relação a , usamos a regra básica da potência:
Então, a derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos derivar . Aqui, usamos a regra da cadeia, que é quando temos uma função dentro de outra função. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a . No nosso caso, , então:

Passo 5

Igualamos agora a soma das derivadas à derivada do lado direito da equação original. A derivada de uma constante, como 5, é 0. Então temos:

Passo 6

Queremos isolar para encontrar a sua expressão. Vamos mover para o outro lado da equação:
Agora, dividimos ambos os lados por (lembre-se que , conforme a condição dada):

Resposta

Portanto, a derivada de é:

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