Seja uma função diferenciável tal que . Calcule nos pontos em que .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável que satisfaz a equação . A gente precisa descobrir a derivada dessa função, ou seja, , nos pontos onde . Para resolver isso, vamos usar o método de derivação implícita, que é útil quando a função não está isolada em um dos lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos derivar e igualar à derivada de 5.

Passo 3

Derivando em relação a , usamos a regra básica da potência:
Então, a derivada de é .

Passo 4

Agora, vamos derivar . Aqui, usamos a regra da cadeia, que é quando temos uma função dentro de outra função. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a . No nosso caso, , então:

Passo 5

Igualamos agora a soma das derivadas à derivada do lado direito da equação original. A derivada de uma constante, como 5, é 0. Então temos:

Passo 6

Queremos isolar para encontrar a sua expressão. Vamos mover para o outro lado da equação:
Agora, dividimos ambos os lados por (lembre-se que , conforme a condição dada):

Resposta

Portanto, a derivada de é:

Exercícios relacionados

Calcule :
(o)
Considere a função . (Note que é um paraboloide elíptico)
© Calcule as derivadas parciais de .
Consideremos a situação onde areia escoa numa ampulheta, isto acontece de modo que a areia vá formando um cone na parte inferior, cujo raio é sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de escoamento da areia é constante e é de , determine a taxa de crescimento da altura do cone, após 5 minutos do início do fenômeno.
Calcule :
(e)