Consideremos a situação onde areia escoa numa ampulheta, isto acontece de modo que a areia vá formando um cone na parte inferior, cujo raio é sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de escoamento da areia é constante e é de , determine a taxa de crescimento da altura do cone, após 5 minutos do início do fenômeno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma ampulheta onde a areia forma um cone na parte de baixo, com o raio sempre três vezes a altura. A taxa de escoamento da areia é constante e igual a . Nosso objetivo é descobrir quão rápido a altura desse cone está crescendo depois de 5 minutos do início do escoamento.
Aqui, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especialmente relacionados a taxas de variação e derivadas. Precisaremos entender como relacionar o volume do cone com a altura e como isso nos ajuda a encontrar a taxa de crescimento da altura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
Mas, segundo o enunciado, o raio é sempre três vezes a altura . Então, podemos substituir por :
Agora, temos a relação entre o volume e a altura do cone.

Passo 3

Sabemos que a taxa de escoamento da areia é constante, ou seja, a derivada do volume em relação ao tempo é constante:
Vamos derivar a expressão do volume em relação ao tempo para ligar isso à taxa de variação da altura:
Assim, temos:

Passo 4

Queremos encontrar , a taxa de crescimento da altura. Vamos isolar :
Agora, precisamos saber o valor de após 5 minutos para substituir na equação.

Passo 5

Cinco minutos têm 300 segundos. Como a taxa de escoamento é constante, o volume acumulado após 300 segundos é:
Usando a relação do volume com a altura:
Vamos resolver para :

Passo 6

Agora que temos , substituímos na equação da taxa de crescimento da altura:

Resposta

Após 5 minutos do início do escoamento, a taxa de crescimento da altura do cone é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Seja uma função diferenciável tal que . Calcule nos pontos em que .
Calcule :
(o)
Calcule :
(e)
Faça o que se pede:
(a) Estude a função em relação a domínio, imagem.