Consideremos a situação onde areia escoa numa ampulheta, isto acontece de modo que a areia vá formando um cone na parte inferior, cujo raio é sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de escoamento da areia é constante e é de
, determine a taxa de crescimento da altura do cone, após 5 minutos do início do fenômeno.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma ampulheta onde a areia forma um cone na parte de baixo, com o raio sempre três vezes a altura. A taxa de escoamento da areia é constante e igual a
. Nosso objetivo é descobrir quão rápido a altura desse cone está crescendo depois de 5 minutos do início do escoamento.
Aqui, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especialmente relacionados a taxas de variação e derivadas. Precisaremos entender como relacionar o volume do cone com a altura e como isso nos ajuda a encontrar a taxa de crescimento da altura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
Mas, segundo o enunciado, o raio
é sempre três vezes a altura
. Então, podemos substituir
por
:
Agora, temos a relação entre o volume
e a altura
do cone.
Passo 3
Sabemos que a taxa de escoamento da areia é constante, ou seja, a derivada do volume em relação ao tempo é constante:
Vamos derivar a expressão do volume em relação ao tempo para ligar isso à taxa de variação da altura:
Assim, temos:
Passo 4
Queremos encontrar
, a taxa de crescimento da altura. Vamos isolar
:
Agora, precisamos saber o valor de
após 5 minutos para substituir na equação.
Passo 5
Cinco minutos têm 300 segundos. Como a taxa de escoamento é constante, o volume acumulado após 300 segundos é:
Usando a relação do volume com a altura:
Vamos resolver para
:
Passo 6
Agora que temos
, substituímos na equação da taxa de crescimento da altura:
Resposta
Após 5 minutos do início do escoamento, a taxa de crescimento da altura do cone é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável tal que
. Calcule
nos pontos em que
.
Calcule
:
(o)
(o)
Calcule
:
(e)
(e)
Faça o que se pede:
(a) Estude a função em relação a domínio, imagem.
(a) Estude a função