Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a derivada de . Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente envolvendo derivadas de funções compostas e quocientes. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as partes da função para aplicar a regra do quociente. Temos:
  • Numerador:
  • Denominador:
A regra do quociente nos diz que:

Passo 3

Vamos calcular . Como é um produto de e , usamos a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular . . Aplicamos a regra do produto novamente:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 5

Agora que temos e , substituímos na fórmula da regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Colocando em evidência :

Passo 6

Simplificando ainda mais:
Para deixar a expressão mais organizada, podemos fatorar termos comuns, mas essa já é uma forma simplificada da derivada.

Resposta

A derivada de é:

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Calcule .
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
Calcule .
Calcule .