Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma. sumn=1^infty (2 n)!(n!)^2

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é decidir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar a convergência analisando o limite do quociente entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, precisamos aplicar o Teste da Razão. Isso envolve calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde .

Passo 3

Vamos calcular an+1 = (2(n+1))!((n+1)!)^2 = (2n + 2)!(n+1)^2 (n!)^2 :

Passo 4

Agora, vamos formar o quociente an+1an = (2n + 2)!(n+1)^2 (n!)^2 times (n!)^2(2n)! = (2n + 2)(2n + 1)(n+1)^2 :

Passo 5

Simplificamos o quociente:
an+1an = (2n + 2)(2n + 1)(n+1)(n+1) = 4n^2 + 6n + 2n^2 + 2n + 1

Passo 6

Calculamos o limite quando L = limn to infty 4n^2 + 6n + 2n^2 + 2n + 1 = limn to infty 4 + 6n + 2n^21 + 2n + 1n^2 = 41 = 4 tende ao infinito:

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, se , a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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