Calcule .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada de . Isso faz parte do estudo de derivadas em cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas básicas e usar algumas regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Na verdade, é a função cossecante, que é o inverso do seno. Ou seja:
Então, .

Passo 3

Para derivar , vamos usar a regra do quociente ou a regra da cadeia. Aqui, vamos aplicar a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos a função como:

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia. Se temos , então a derivada é:
Aqui, e .

Passo 5

Calculando cada parte:

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da regra da cadeia:

Passo 7

Simplificando, sabemos que e . Então:

Resposta

A derivada de é:

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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.
Calcule .
Calcule .
Calcule .