Calcule :
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa achar a derivada da função . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente. A gente vai precisar aplicar essa regra para encontrar , que é a derivada de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . Para funções que são quocientes de duas outras funções, usamos a Regra do Quociente. Essa regra diz que se temos , a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes da nossa função:
A gente precisa achar as derivadas de e :
  • (derivando cada termo)
  • (a derivada de é 1 e a de 1 é 0)

Passo 4

Aplicando a Regra do Quociente com as derivadas que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão no numerador:
  1. Multiplicamos :
  2. Subtraímos :
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é .

Exercícios relacionados

Consideremos a situação onde areia escoa numa ampulheta, isto acontece de modo que a areia vá formando um cone na parte inferior, cujo raio é sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de escoamento da areia é constante e é de , determine a taxa de crescimento da altura do cone, após 5 minutos do início do fenômeno.
Seja uma função diferenciável tal que . Calcule nos pontos em que .
Faça o que se pede:
(a) Estude a função em relação a domínio, imagem.
Calcule :
(j)