Faça o que se pede:
(a) Estude a função em relação a domínio, imagem.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente tem a função e precisamos estudar duas coisas: o domínio e a imagem dessa função. Isso significa que vamos descobrir para quais valores de e a função está definida (domínio) e quais são os possíveis valores que pode assumir (imagem). Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como essas partes funcionam juntas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é basicamente todos os pares que a gente pode colocar na função sem ter problemas, como dividir por zero ou tirar raiz de número negativo.

Passo 3

Na nossa função , temos um denominador que é . Sabemos que não dá para dividir por zero, então não pode ser igual a zero. Além disso, no numerador temos , que sempre será um número real porque qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. Não tem problema com nesse caso, já que estamos apenas elevando ao quadrado.

Passo 4

Então, o domínio da função são todos os pares onde é diferente de zero. Em termos matemáticos, podemos escrever isso como:
í
Isso significa que para qualquer valor real de , pode ser qualquer número real exceto zero.

Passo 5

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir quando varia dentro do domínio.

Passo 6

Observando a função , vemos que é sempre maior ou igual a zero, já que é um quadrado. O termo depende do sinal de :
  • Se for positivo, será positivo ou zero.
  • Se for negativo, será negativo ou zero.

Passo 7

Vamos analisar os possíveis valores de :
  • Se , então .
  • Se :
    • Para , pode ser qualquer número real positivo.
    • Para , pode ser qualquer número real negativo.

Passo 8

Portanto, a imagem da função inclui todos os números reais, já que podemos obter qualquer valor positivo ou negativo ajustando e adequadamente. Em símbolos:

Resposta

O domínio da função é e a imagem é todos os números reais, ou seja, .

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(e)
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(j)
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