Faça o que se pede:
(a) Estude a função
em relação a domínio, imagem.
(a) Estude a função
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício! A gente tem a função
e precisamos estudar duas coisas: o domínio e a imagem dessa função. Isso significa que vamos descobrir para quais valores de
e
a função está definida (domínio) e quais são os possíveis valores que
pode assumir (imagem). Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como essas partes funcionam juntas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é basicamente todos os pares
que a gente pode colocar na função sem ter problemas, como dividir por zero ou tirar raiz de número negativo.
Passo 3
Na nossa função
, temos um denominador que é
. Sabemos que não dá para dividir por zero, então
não pode ser igual a zero. Além disso, no numerador temos
, que sempre será um número real porque qualquer número ao quadrado é positivo ou zero. Não tem problema com
nesse caso, já que estamos apenas elevando ao quadrado.
Passo 4
Então, o domínio da função são todos os pares
onde
é diferente de zero. Em termos matemáticos, podemos escrever isso como:
Isso significa que para qualquer valor real de
,
pode ser qualquer número real exceto zero.
Passo 5
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir quando
varia dentro do domínio.
Passo 6
Observando a função
, vemos que
é sempre maior ou igual a zero, já que é um quadrado. O termo
depende do sinal de
:
- Se
for positivo, será positivo ou zero. - Se
for negativo, será negativo ou zero.
Passo 7
Vamos analisar os possíveis valores de
:
- Se
, então . - Se
: - Para
, pode ser qualquer número real positivo. - Para
, pode ser qualquer número real negativo.
- Para
Passo 8
Portanto, a imagem da função inclui todos os números reais, já que podemos obter qualquer valor positivo ou negativo ajustando
e
adequadamente. Em símbolos:
Resposta
O domínio da função
é
e a imagem é todos os números reais, ou seja,
.
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Calcule
:
(e)
(e)
Consideremos a situação onde areia escoa numa ampulheta, isto acontece de modo que a areia vá formando um cone na parte inferior, cujo raio é sempre o triplo da altura. Sabendo que a taxa de escoamento da areia é constante e é de
, determine a taxa de crescimento da altura do cone, após 5 minutos do início do fenômeno.
Calcule
:
(j)
(j)
Seja
verifique que :