Calcule
.
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a derivada da função
. O conteúdo da matéria aqui é cálculo de derivadas, e vamos precisar usar a regra do quociente para resolver isso, já que a função está na forma de fração. A regra do quociente diz que se temos uma função na forma
, a derivada
é dada por:
onde
é o numerador e
é o denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na nossa função. Aqui, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e
.
Para
, vamos derivar cada parte:
- A derivada de
é (porque usamos a regra do potência que diz que a derivada de é ). - A derivada de
(que é ) é (novamente usando a regra do potência).
Assim, juntando, temos:
Para
, a derivada de
é simplesmente
. Então agora temos:
Passo 3
Agora podemos aplicar a regra do quociente:
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, vamos multiplicar tudo lá em cima:
- O termo
. - O termo
.
Portanto, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o numerador:
O
. Assim, nossa derivada fica:
Agora, podemos dividir cada termo do numerador por
:
Isso simplifica para:
Resposta
Portanto, a derivada de
é:
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tais que
e
.
Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
;
.
Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
;
.