Calcule . .

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a derivada da função . O conteúdo da matéria aqui é cálculo de derivadas, e vamos precisar usar a regra do quociente para resolver isso, já que a função está na forma de fração. A regra do quociente diz que se temos uma função na forma , a derivada é dada por:
onde é o numerador e é o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na nossa função. Aqui, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas de e .
Para , vamos derivar cada parte:
  1. A derivada de é (porque usamos a regra do potência que diz que a derivada de é ).
  2. A derivada de (que é ) é (novamente usando a regra do potência).
Assim, juntando, temos:
Para , a derivada de é simplesmente . Então agora temos:

Passo 3

Agora podemos aplicar a regra do quociente:
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, vamos multiplicar tudo lá em cima:
  1. O termo .
  2. O termo .
Portanto, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador:
O . Assim, nossa derivada fica:
Agora, podemos dividir cada termo do numerador por :
Isso simplifica para:

Resposta

Portanto, a derivada de é:

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os tais que e .
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;
.
Verifique que cada função dada, , é uma solução da equação diferencial associada.
; .