Calcule f^prime(x). f(x)=3 x^4+raizx2 x.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a derivada da função f(x)=3 x^4+raizx2 x. O conteúdo da matéria aqui é cálculo de derivadas, e vamos precisar usar a regra do quociente para resolver isso, já que a função está na forma de fração. A regra do quociente diz que se temos uma função na forma f(x) = g(x)h(x), a derivada f'(x) é dada por:
f'(x) = g'(x)h(x) - g(x)h'(x)(h(x))^2
onde g(x) é o numerador e h(x) é o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar g(x) e h(x) na nossa função. Aqui, temos:
  • g(x) = 3 x^4 + raizx
  • h(x) = 2 x
Agora, precisamos calcular as derivadas de g(x) e h(x).
Para g(x), vamos derivar cada parte:
  1. A derivada de 3x^4 é 12x^3 (porque usamos a regra do potência que diz que a derivada de x^n é n cdot x^n-1).
  2. A derivada de raizx (que é x^1/2) é 12 x^-1/2 (novamente usando a regra do potência).
Assim, juntando, temos:
g'(x) = 12x^3 + 12x^-1/2
Para h(x), a derivada de 2x é simplesmente 2. Então agora temos:
  • g'(x) = 12x^3 + 12x^-1/2
  • h'(x) = 2

Passo 3

Agora podemos aplicar a regra do quociente:
f'(x) = (12x^3 + 12x^-1/2)(2x) - (3x^4 + raizx)(2)(2x)^2
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, vamos multiplicar tudo lá em cima:
  1. O termo g'(x)h(x) = (12x^3 + 12x^-1/2)(2x) = 24x^4 + x^1/2.
  2. O termo g(x)h'(x) = (3x^4 + raizx)(2) = 6x^4 + 2raizx.
Portanto, temos:
f'(x) = (24x^4 + x^1/2) - (6x^4 + 2raizx)(2x)^2

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador:
f'(x) = 24x^4 - 6x^4 + x^1/2 - 2raizx(2x)^2 = 18x^4 - raizx(2x)^2
O (2x)^2 = 4x^2. Assim, nossa derivada fica:
f'(x) = 18x^4 - raizx4x^2
Agora, podemos dividir cada termo do numerador por 4x^2:
f'(x) = 18x^44x^2 - raizx4x^2
Isso simplifica para:
f'(x) = 9x^22 - 14x^-3/2

Resposta

Portanto, a derivada de f(x) é:
f'(x) = 9x^22 - 14x^-3/2

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