Verifique que cada função dada, y1(t) e / o u y2(t), é uma solução da equação diferencial associada.
t y^prime-y=t^2;
y1(t)=3 t+t^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que é t y' - y = t^2 e precisamos verificar se a função y1(t) = 3t + t^2 é uma solução dessa equação. O conteúdo que estamos trabalhando aqui são equações diferenciais, que basicamente descrevem como uma quantidade muda em relação a outra.
Para resolver isso, vamos primeiro entender o que significa “verificar se é uma solução”. Isso quer dizer que devemos substituir y1(t) e sua derivada y'1(t) na equação diferencial e ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de y1(t). A função é y1(t) = 3t + t^2. Quando derivamos, usamos a regra básica de derivação:
y'1(t) = ddt(3t + t^2) = 3 + 2t
Agora temos y1(t) e sua derivada y'1(t). O próximo passo é substituir esses valores na equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos substituir y1(t) e y'1(t) na equação ty' - y = t^2:
  1. Substituindo y'1(t):
    • t y'1(t) = t(3 + 2t) = 3t + 2t^2.
  2. Substituindo y1(t):
    • - y1(t) = -(3t + t^2).
Então, a equação fica assim:
3t + 2t^2 - (3t + t^2) = t^2

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão:
3t + 2t^2 - 3t - t^2 = t^2
Quando simplificamos, temos:
(3t - 3t) + (2t^2 - t^2) = t^2 implies 0 + t^2 = t^2
Como a equação é verdadeira, isso mostra que a expressão se mantém.

Resposta

Portanto, a função y1(t) = 3t + t^2 é realmente uma solução da equação diferencial t y' - y = t^2.

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