Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
;
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que é
e precisamos verificar se a função
é uma solução dessa equação. O conteúdo que estamos trabalhando aqui são equações diferenciais, que basicamente descrevem como uma quantidade muda em relação a outra.
Para resolver isso, vamos primeiro entender o que significa “verificar se é uma solução”. Isso quer dizer que devemos substituir
e sua derivada
na equação diferencial e ver se a igualdade se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A função é
. Quando derivamos, usamos a regra básica de derivação:
Agora temos
e sua derivada
. O próximo passo é substituir esses valores na equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação
:
-
Substituindo
: -
.
-
-
Substituindo
: -
.
-
Então, a equação fica assim:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão:
Quando simplificamos, temos:
Como a equação é verdadeira, isso mostra que a expressão se mantém.
Resposta
Portanto, a função
é realmente uma solução da equação diferencial
.