Verifique que cada função dada, y1(t) e / o u y2(t), é uma solução da equação diferencial associada.
t^2 y^prime prime+5 t y^prime+4 y=0, t>0; y1(t)=t^-2, y2(t)=t^-2 ln t.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificar se as funções y1(t) = t^-2 e y2(t) = t^-2 ln t são soluções da equação diferencial t^2 y^prime prime + 5t y^prime + 4y = 0, onde t > 0. Essa equação é uma equação diferencial de segunda ordem e linear. Para verificar se essas funções são soluções, precisamos calcular suas derivadas e substituí-las na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de y1(t) = t^-2. A primeira derivada y1'(t) é encontrada usando a regra do poder:
y1'(t) = -2t^-3
Agora, vamos calcular a segunda derivada y1''(t):
y1''(t) = -2 cdot (-3)t^-4 = 6t^-4
Com as duas derivadas em mãos, agora é a hora de substituir y1(t), y1'(t) e y1''(t) na equação diferencial:
t^2(6t^-4) + 5t(-2t^-3) + 4(t^-2) = 0
Vamos simplificar cada termo:
  1. O primeiro termo: t^2 cdot 6t^-4 = 6t^-2.
  2. O segundo termo: 5t cdot (-2t^-3) = -10t^-2.
  3. O terceiro termo: 4(t^-2) = 4t^-2.
Agora somando tudo isso, temos:
6t^-2 - 10t^-2 + 4t^-2 = (6 - 10 + 4)t^-2 = 0
Como a soma é igual a zero, isso mostra que y1(t) é uma solução da equação diferencial!

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para y2(t) = t^-2 ln t. Primeiro, precisamos calcular a primeira derivada y2'(t). Aqui vamos usar a regra do produto:
y2'(t) = ddt(t^-2) cdot ln t + t^-2 cdot ddt(ln t)
Sabendo que a derivada de t^-2 é -2t^-3 e a derivada de ln t é 1t, obtemos:
y2'(t) = (-2t^-3) ln t + t^-2 cdot 1t = -2t^-3 ln t + t^-3
Agora vamos calcular a segunda derivada y2''(t). Novamente usando a regra do produto no primeiro termo:
y2''(t) = ddt(-2t^-3 ln t) + ddt(t^-3)
Para a primeira parte, novamente aplicamos a regra do produto:
  • A derivada de -2t^-3 é 6t^-4 (já feito acima), e a derivada de ln t é 1t, então,
ddt(-2t^-3 ln t) = (-2)(-3)t^-4 ln t + (-2)t^-3 cdot 1t = 6t^-4 ln t - 2t^-4
A derivada da segunda parte, t^-3, é -3t^-4. Portanto:
y2''(t) = (6t^-4 ln t - 2t^-4) - 3t^-4 = 6t^-4 ln t - 5t^-4
Agora que temos y2(t), y2'(t) e y2''(t), vamos substituir tudo de novo na equação diferencial:
t^2(6t^-4 ln t - 5t^-4) + 5t(-2t^-3 ln t + t^-3) + 4(t^-2) = 0
Simplificando:
  1. O primeiro termo: t^2(6t^-4 ln t - 5t^-4) = 6t^-2 ln t - 5t^-2.
  2. O segundo termo: 5t(-2t^-3 ln t + t^-3) = -10t^-2 ln t + 5t^-2.
  3. O terceiro termo: 4(t^-2) = 4t^-2.
Juntando tudo:
6t^-2 ln t - 5t^-2 - 10t^-2 ln t + 5t^-2 + 4t^-2 = (6t^-2 ln t - 10t^-2 ln t) + (0) = -4t^-2 ln t = 0
Aqui também temos que a expressão iguala a zero, mostrando que y2(t) também é uma solução.

Resposta

As funções y1(t) = t^-2 e y2(t) = t^-2 ln t são, sim, soluções da equação diferencial t^2 y^prime prime + 5t y^prime + 4y = 0.

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