Verifique que cada função dada, , é uma solução da equação diferencial associada.
; .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para verificar se as funções e são soluções da equação diferencial , onde . Essa equação é uma equação diferencial de segunda ordem e linear. Para verificar se essas funções são soluções, precisamos calcular suas derivadas e substituí-las na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de . A primeira derivada é encontrada usando a regra do poder:
Agora, vamos calcular a segunda derivada :
Com as duas derivadas em mãos, agora é a hora de substituir , e na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo:
  1. O primeiro termo: .
  2. O segundo termo: .
  3. O terceiro termo: .
Agora somando tudo isso, temos:
Como a soma é igual a zero, isso mostra que é uma solução da equação diferencial!

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para . Primeiro, precisamos calcular a primeira derivada . Aqui vamos usar a regra do produto:
Sabendo que a derivada de é e a derivada de é , obtemos:
Agora vamos calcular a segunda derivada . Novamente usando a regra do produto no primeiro termo:
Para a primeira parte, novamente aplicamos a regra do produto:
  • A derivada de é (já feito acima), e a derivada de é , então,
A derivada da segunda parte, , é . Portanto:
Agora que temos , e , vamos substituir tudo de novo na equação diferencial:
Simplificando:
  1. O primeiro termo: .
  2. O segundo termo: .
  3. O terceiro termo: .
Juntando tudo:
Aqui também temos que a expressão iguala a zero, mostrando que também é uma solução.

Resposta

As funções e são, sim, soluções da equação diferencial .

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