Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
;
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificar se as funções
e
são soluções da equação diferencial
, onde
. Essa equação é uma equação diferencial de segunda ordem e linear. Para verificar se essas funções são soluções, precisamos calcular suas derivadas e substituí-las na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada
é encontrada usando a regra do poder:
Agora, vamos calcular a segunda derivada
:
Com as duas derivadas em mãos, agora é a hora de substituir
,
e
na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo:
- O primeiro termo:
. - O segundo termo:
. - O terceiro termo:
.
Agora somando tudo isso, temos:
Como a soma é igual a zero, isso mostra que
é uma solução da equação diferencial!
Passo 3
Agora vamos fazer o mesmo para
. Primeiro, precisamos calcular a primeira derivada
. Aqui vamos usar a regra do produto:
Sabendo que a derivada de
é
e a derivada de
é
, obtemos:
Agora vamos calcular a segunda derivada
. Novamente usando a regra do produto no primeiro termo:
Para a primeira parte, novamente aplicamos a regra do produto:
- A derivada de
é (já feito acima), e a derivada de é , então,
A derivada da segunda parte,
, é
. Portanto:
Agora que temos
,
e
, vamos substituir tudo de novo na equação diferencial:
Simplificando:
- O primeiro termo:
. - O segundo termo:
. - O terceiro termo:
.
Juntando tudo:
Aqui também temos que a expressão iguala a zero, mostrando que
também é uma solução.
Resposta
As funções
e
são, sim, soluções da equação diferencial
.
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Verifique que cada função dada,
, é uma solução da equação diferencial associada.
;
.
Calcule
.
.
Calcule o gradiente de
no ponto
e determine a taxa de variação de
em
na direção do versor
.
.
Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
: $f(x)=\operatorname{sen} x, \quad a=\pi / 2"