Calcule os limites a seguir usando a regra de L

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites infinitos e vamos usar a Regra de L’Hospital. Para isso, precisamos que tanto o numerador quanto o denominador tendam a infinito ou zero quando tende a .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento de cada parte da fração quando vai para :
  • tende a
  • também tende a
Como temos uma forma indeterminada , podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de em relação a é
  • Derivada de em relação a é
Então, aplicando a Regra de L’Hospital, o limite fica:

Passo 4

Simplificando a fração resultante:
Agora, calculamos o limite dessa expressão quando tende a .

Passo 5

Observamos que tende a 0 quando vai para , pois o denominador cresce muito mais rápido que o numerador.

Resposta

O limite é .

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Calcule .
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