Calcule : .

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisa encontrar a sua derivada, ou seja, . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação de funções hiperbólicas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função cosecante hiperbólica. A função é definida como o inverso da função seno hiperbólico:
Então, nossa função é:

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de , vamos usar a regra da derivada de uma função composta, especificamente a derivada de , que é , onde .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a derivada de :
Aqui, usamos a regra básica de derivação das funções hiperbólicas, onde a derivada de é .

Passo 5

Agora, aplicando a regra da derivada de :

Passo 6

Podemos simplificar essa expressão usando outra função hiperbólica. Sabemos que:
Portanto, podemos reescrever da seguinte forma:

Resposta

A derivada de é:

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