Calcule f'(x): $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas de funções que são frações. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à sua variável. No nosso caso, queremos saber como muda conforme muda.

Passo 3

A função que temos é . Para derivar isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é aplicada quando temos uma função na forma de divisão de duas funções: . A fórmula da derivada usando a Regra do Quociente é:

Passo 4

Identificamos as partes da nossa função:
Agora, vamos encontrar as derivadas de e :
  • (derivada do ln(x))
  • (derivada de x)

Passo 5

Aplicando a Regra do Quociente:
Simplificando o numerador:

Resposta

A derivada da função é:

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