Calcule
: $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas de funções que são frações. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à sua variável. No nosso caso, queremos saber como
muda conforme
muda.
Passo 3
A função que temos é
. Para derivar isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é aplicada quando temos uma função na forma de divisão de duas funções:
. A fórmula da derivada usando a Regra do Quociente é:
Passo 4
Identificamos as partes da nossa função:
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
:
-
(derivada do ln(x)) -
(derivada de x)
Passo 5
Aplicando a Regra do Quociente:
Simplificando o numerador:
Resposta
A derivada da função é: