Seja f(x) = { x² se x < 2, -x² se x ≥ 2 }. 1. f é derivável em 0 ? Justifique? 2. fé contínua em 0 ? Justífique?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função definida por partes:
E nos pede para verificar duas coisas sobre essa função no ponto :
  1. Se é derivável em 0.
  2. Se é contínua em 0.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de derivabilidade e continuidade de funções. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em .
Continuidade em um ponto: Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Vamos aplicar isso para .

Passo 3

Calculando :
Como , usamos a primeira parte da função:
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0.

Passo 4

O limite de quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
E pela direita ( ):

Passo 5

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e iguais a , concluímos que:
Portanto, é contínua em 0.

Passo 6

Agora, vamos verificar se é derivável em .
Derivabilidade em um ponto: Uma função é derivável em se o limite que define a derivada existe, ou seja:
Vamos aplicar isso para .

Passo 7

Calculando a derivada de em 0:
Como para próximo de 0, , usamos :

Passo 8

Como o limite existe e é igual a 0, concluímos que é derivável em 0, e a derivada nesse ponto é 0.

Resposta

  1. Sim, é derivável em 0, e .
  2. Sim, é contínua em 0.

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