Seja
. 1.
é derivável em 0 ? Justifique? 2. fé contínua em 0 ? Justífique?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função definida por partes:
E nos pede para verificar duas coisas sobre essa função no ponto
:
- Se
é derivável em 0. - Se
é contínua em 0.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de derivabilidade e continuidade de funções. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em
.
Continuidade em um ponto: Uma função é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Vamos aplicar isso para
.
Passo 3
Calculando
:
Como
, usamos a primeira parte da função:
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0.
Passo 4
O limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
E pela direita (
):
Passo 5
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e iguais a
, concluímos que:
Portanto,
é contínua em 0.
Passo 6
Agora, vamos verificar se
é derivável em
.
Derivabilidade em um ponto: Uma função é derivável em
se o limite que define a derivada existe, ou seja:
Vamos aplicar isso para
.
Passo 7
Calculando a derivada de
em 0:
Como para
próximo de 0,
, usamos
:
Passo 8
Como o limite existe e é igual a 0, concluímos que
é derivável em 0, e a derivada nesse ponto é 0.
Resposta
- Sim,
é derivável em 0, e . - Sim,
é contínua em 0.