Seja
1. f é contínua em 2 ? Por que? 2.
é derivável em 2 ? Por que?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Vamos verificar se
é contínua e se é derivável em
. Para isso, precisamos entender os conceitos de continuidade e derivabilidade.
Passo 2
Continuidade em
:
Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto pela esquerda for igual ao limite pela direita e ambos forem iguais ao valor da função nesse ponto.
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda (
):
Em seguida, calculamos o limite pela direita (
):
Agora, comparamos esses limites com o valor da função em
:
Como
a função não é contínua em
.
Passo 3
Derivabilidade em
:
Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto, além de os limites das derivadas laterais existirem e serem iguais.
Já vimos que
não é contínua em
. Portanto, automaticamente,
não pode ser derivável em
.
Resposta
- A função
não é contínua em porque os limites pela esquerda e pela direita são diferentes. - A função
não é derivável em pois ela não é contínua nesse ponto.