Seja f(x) = { x + 1 se x < 2 1 se x ≥ 2 } 1. f é contínua em 2 ? Por que? 2. f é derivável em 2 ? Por que?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Vamos verificar se é contínua e se é derivável em . Para isso, precisamos entender os conceitos de continuidade e derivabilidade.

Passo 2

Continuidade em :
Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda for igual ao limite pela direita e ambos forem iguais ao valor da função nesse ponto.
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda ( ):
Em seguida, calculamos o limite pela direita ( ):
Agora, comparamos esses limites com o valor da função em :
Como
a função não é contínua em .

Passo 3

Derivabilidade em :
Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto, além de os limites das derivadas laterais existirem e serem iguais.
Já vimos que não é contínua em . Portanto, automaticamente, não pode ser derivável em .

Resposta

  1. A função não é contínua em porque os limites pela esquerda e pela direita são diferentes.
  2. A função não é derivável em pois ela não é contínua nesse ponto.

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