Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede pra gente calcular a derivada da função . Isso envolve conhecimentos de derivadas, especialmente da regra da cadeia e das propriedades das potências e exponenciais. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivar essa função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil de trabalhar com as derivadas. Sabemos que é o mesmo que . Então, podemos reescrever assim:

Passo 3

Agora, para derivar , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra, a derivada é a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.
No nosso caso, a função externa é e a função interna é .

Passo 4

Vamos derivar a função externa em relação a :
Agora, vamos multiplicar isso pela derivada da função interna, ou seja, .

Passo 5

Vamos derivar a função interna . Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
Derivando :
Derivando :

Passo 6

Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 7

Voltando à derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna:
Substituindo e :

Passo 8

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, podemos reescrever como:
Então, multiplicando pela outra parte:
Simplificando os expoentes de :

Resposta

Finalmente, juntando tudo, a derivada é:
Ou, simplificando um pouco mais:

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(a)
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