Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede pra gente calcular a derivada da função
. Isso envolve conhecimentos de derivadas, especialmente da regra da cadeia e das propriedades das potências e exponenciais. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivar essa função composta.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil de trabalhar com as derivadas. Sabemos que
é o mesmo que
. Então, podemos reescrever
assim:
Passo 3
Agora, para derivar
, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra, a derivada é a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.
No nosso caso, a função externa é
e a função interna é
.
Passo 4
Vamos derivar a função externa em relação a
:
Agora, vamos multiplicar isso pela derivada da função interna, ou seja,
.
Passo 5
Vamos derivar a função interna
. Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
.
Derivando
:
Derivando
:
Passo 6
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna:
Substituindo
e
:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, podemos reescrever
como:
Então, multiplicando pela outra parte:
Simplificando os expoentes de
:
Resposta
Finalmente, juntando tudo, a derivada
é:
Ou, simplificando um pouco mais:
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.
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(a)
(a)
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.
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.