Calcule f'(x).
f(x) = raiz(x + raiz(x + raiz(x)))

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um exercício que pede pra calcular a derivada de . Isso pertence à matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções compostas usando a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia várias vezes aqui porque a função tem várias raízes quadradas aninhadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de em relação a é . Aqui, é uma função de que está dentro da raiz.

Passo 3

Vamos começar identificando a função mais externa. Temos:
onde
Para encontrar , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, precisamos calcular . Temos:
onde
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Sabemos que:
Derivando :

Passo 6

Agora, substituímos de volta em :

Passo 7

E agora, substituímos de volta em :

Resposta

A derivada de é:

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