Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um âNGULO theta com o plano, então a intensidade da força é
F = (mu * m * g) / (mu * sen(theta) + cos(theta))
onde mu é uma constante chamada coeficiente de atrito.
Quando essa taxa de variação é igual a 0? Como você interpreta esse resultado? O que acontece de especial nesse theta ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física que envolve força, atrito e trigonometria. O problema nos pede para descobrir em que ponto a variação da força em relação ao ângulo da corda é igual a zero. Para isso, vamos precisar usar derivadas e conhecimentos básicos de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que nos foi dada:
Aqui, F é a intensidade da força, mu é o coeficiente de atrito, m é a massa do objeto, g é a aceleração da gravidade e theta é o ângulo que a corda faz com o plano horizontal. Queremos saber para qual valor de theta a variação dessa força, ou seja, a derivada de F em relação a theta, é igual a zero.

Passo 3

Para encontrar quando a variação da força é zero, vamos calcular a derivada de F em relação a theta e igualá-la a zero:
Vamos calcular essa derivada usando a regra do quociente.

Passo 4

Primeiro, identifiquemos o numerador ( N) e o denominador ( D) da função F:
A derivada de F em relação a theta usando a regra do quociente é:
Como é uma constante, sua derivada em relação a theta é zero:
Então, a derivada simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Queremos que essa derivada seja igual a zero:
Isso acontece quando o numerador é igual a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação :

Resposta

A taxa de variação da força é igual a zero quando o ângulo theta satisfaz . Esse ângulo é especial porque representa o ponto onde a força aplicada é otimizada em relação ao coeficiente de atrito, ou seja, é o ângulo que minimiza a força necessária para arrastar o objeto.

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