Um objeto de massa
é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um âNGULO
com o plano, então a intensidade da força é
onde
é uma constante chamada coeficiente de atrito.
Quando essa taxa de variação é igual a 0? Como você interpreta esse resultado? O que acontece de especial nesse
?
Quando essa taxa de variação é igual a 0? Como você interpreta esse resultado? O que acontece de especial nesse
Passo 1
Vamos resolver um exercício de física que envolve força, atrito e trigonometria. O problema nos pede para descobrir em que ponto a variação da força em relação ao ângulo da corda é igual a zero. Para isso, vamos precisar usar derivadas e conhecimentos básicos de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que nos foi dada:
Aqui,
é a intensidade da força,
é o coeficiente de atrito,
é a massa do objeto,
é a aceleração da gravidade e
é o ângulo que a corda faz com o plano horizontal. Queremos saber para qual valor de
a variação dessa força, ou seja, a derivada de
em relação a
, é igual a zero.
Passo 3
Para encontrar quando a variação da força é zero, vamos calcular a derivada de
em relação a
e igualá-la a zero:
Vamos calcular essa derivada usando a regra do quociente.
Passo 4
Primeiro, identifiquemos o numerador (
) e o denominador (
) da função
:
A derivada de
em relação a
usando a regra do quociente é:
Como
é uma constante, sua derivada em relação a
é zero:
Então, a derivada simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Queremos que essa derivada seja igual a zero:
Isso acontece quando o numerador é igual a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação
:
Resposta
A taxa de variação da força é igual a zero quando o ângulo
satisfaz
. Esse ângulo é especial porque representa o ponto onde a força aplicada é otimizada em relação ao coeficiente de atrito, ou seja, é o ângulo que minimiza a força necessária para arrastar o objeto.
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