Um objeto de massa é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda atada ao objeto. Se a corda faz um âNGULO com o plano, então a intensidade da força é
onde é uma constante chamada coeficiente de atrito.
Quando essa taxa de variação é igual a 0? Como você interpreta esse resultado? O que acontece de especial nesse ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física que envolve força, atrito e trigonometria. O problema nos pede para descobrir em que ponto a variação da força em relação ao ângulo da corda é igual a zero. Para isso, vamos precisar usar derivadas e conhecimentos básicos de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que nos foi dada:
Aqui, é a intensidade da força, é o coeficiente de atrito, é a massa do objeto, é a aceleração da gravidade e é o ângulo que a corda faz com o plano horizontal. Queremos saber para qual valor de a variação dessa força, ou seja, a derivada de em relação a , é igual a zero.

Passo 3

Para encontrar quando a variação da força é zero, vamos calcular a derivada de em relação a e igualá-la a zero:
Vamos calcular essa derivada usando a regra do quociente.

Passo 4

Primeiro, identifiquemos o numerador ( ) e o denominador ( ) da função :
A derivada de em relação a usando a regra do quociente é:
Como é uma constante, sua derivada em relação a é zero:
Então, a derivada simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Queremos que essa derivada seja igual a zero:
Isso acontece quando o numerador é igual a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação :

Resposta

A taxa de variação da força é igual a zero quando o ângulo satisfaz . Esse ângulo é especial porque representa o ponto onde a força aplicada é otimizada em relação ao coeficiente de atrito, ou seja, é o ângulo que minimiza a força necessária para arrastar o objeto.

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