Calcule para as funções abaixo:
10)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de derivadas, especificamente a aplicação da regra do produto, que é usada quando temos uma função formada pelo produto de duas ou mais funções. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e como aplicar a regra do produto.

Passo 2

Vamos começar identificando as partes da função que serão derivadas. A função é o produto de três funções: , e . Para simplificar, podemos considerar .

Passo 3

Para derivar , vamos usar a regra do produto para três funções. A regra do produto para duas funções é . Para três funções, a derivada é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de cada uma das funções individuais:
  • então
  • então
  • então

Passo 5

Substituindo as derivadas encontradas na expressão da regra do produto:

Passo 6

Simplificando cada termo da expressão:
Portanto:

Passo 7

Podemos fatorar nas últimas duas parcelas para simplificar ainda mais:

Passo 8

Reconhecemos que pela identidade trigonométrica dupla. Então:

Passo 9

Também podemos lembrar que , então . Substituindo na expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule para as funções abaixo:
6)
Se é a função de em dada por , determine o valor de .
Calcule para as funções abaixo:
14)
A resolução abaixo está incorreta. Assinale o erro e calcule (corretamente) o limite: