Calcule f'(x) para as funções f abaixo:
6) f(x) = raiz(6)(x * tg^2(x))

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular a derivada de . A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do produto. Vamos precisar lembrar como derivar funções de potências e funções trigonométricas, além de aplicar essas regras para chegar na derivada procurada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz sexta pode ser escrita como uma potência fracionária:
Agora, vamos usar a regra da cadeia para derivar essa função. A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando o expoente:

Passo 4

Agora, vamos derivar usando a regra do produto:
Sabemos que e para derivar , usamos a regra da cadeia novamente:
Portanto:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:
Podemos fatorar :

Resposta

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