A resolução abaixo está incorreta. Assinale o erro e calcule (corretamente) o limite:
lim x +infty(raizx^2+x-x) & =lim x +infty(raizx^2(1+1x)-x) & =lim x +infty x underbraceraiz1+underbrace1x 0-1) 0=lim x +infty(x cdot 0)=0

Passo 1

Vamos analisar o limite . Esse exercício envolve o conceito de limites no infinito e manipulação de expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que envolvem raízes quadradas e termos dominantes quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, observe que dentro da raiz temos raizx^2 + x = raizx^2(1 + 1x) = xraiz1 + 1x . Podemos fatorar para simplificar a expressão:
Aqui, usamos a propriedade .

Passo 3

Substituindo de volta na expressão do limite:
limx +infty (raizx^2 + x - x) = limx +infty (xraiz1 + 1x - x)
Agora, temos uma expressão que envolve multiplicando uma função que tende a 1 conforme cresce.

Passo 4

Vamos fatorar x(raiz1 + 1x - 1) da expressão:
Agora, precisamos entender o comportamento de quando tende ao infinito.

Passo 5

Para simplificar, podemos racionalizar a expressão:
raiz1 + 1x - 1 = (raiz1 + 1x - 1)(raiz1 + 1x + 1)raiz1 + 1x + 1 = 1 + 1x - 1raiz1 + 1x + 1 = 1xraiz1 + 1x + 1

Passo 6

Substituindo de volta na expressão com x cdot 1xraiz1 + 1x + 1 = 1raiz1 + 1x + 1 :

Passo 7

Agora, ao calcular o limite conforme 1raiz1 + 0 + 1 = 11 + 1 = 12 , , então:

Resposta

O limite é igual a .

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