Calcule f'(x) para as funções f abaixo:
12) f(x) = 1 / sen(x - sen(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função . Vamos precisar usar conceitos de derivadas, especialmente a regra do quociente e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Podemos expressar como uma potência:
Isso vai ajudar a aplicar a regra da cadeia de forma mais direta.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da derivada para potências. Se temos uma função da forma , onde , a derivada é:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular , onde . Para isso, usamos a regra da cadeia novamente. A derivada da função seno é o cosseno, então:

Passo 5

Agora, precisamos derivar . A derivada de é 1 e a derivada de é , então:

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Podemos reescrever isso de forma mais limpa:

Resposta

A derivada da função é:

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