Considere a função f de R em R dada por
f(x) = x^2 + x
Considere as funções g e h de R em R dadas por
g(x)=(f(x)+f(-x))/2 e h(x)=(f(x)-f(-x))/2
Verifique que g é par e h é ímpar. Conclua que f(x) = g(x) + h(x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede! A gente tem uma função e duas outras funções definidas a partir dela: g(x) e h(x). A tarefa é verificar que g é uma função par e h é ímpar, e depois concluir que f(x) pode ser escrita como a soma dessas duas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções pares e ímpares e como manipular funções algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular substituindo x por -x na função f(x). Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função g(x) usando a definição dada:

Passo 4

Da mesma forma, vamos encontrar a função h(x):

Passo 5

Agora, vamos verificar se g(x) é uma função par. Uma função é par se . Vamos testar:
Então, g(x) realmente é par.

Passo 6

Vamos verificar se h(x) é uma função ímpar. Uma função é ímpar se . Vamos testar:
Portanto, , confirmando que h(x) é ímpar.

Passo 7

Finalmente, vamos somar g(x) e h(x) para ver se recuperamos f(x):
Isso mostra que f(x) pode ser decomposta na soma de uma função par e uma função ímpar.

Resposta

g(x) é uma função par e h(x) é ímpar, e .

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