Se f: R+ \ {1} -> R é dada por f(x) = raiz(x) + 2 / (1 - raiz(x)), determine:
(a) f(0)
(b) f(9)
© f(4 x)
(d) o elemento cuja imagem é 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida para todos os números reais positivos, exceto para . A função é dada por:
Vamos precisar usar conceitos de funções, substituição de valores e resolução de equações. Vamos calcular o valor de para diferentes entradas e também encontrar o valor de que faz .

Passo 2

Parte (a): Queremos encontrar .
Primeiro, vamos substituir na função:
Sabemos que . Então:

Passo 3

Parte (b): Agora, vamos encontrar .
Substituindo na função:
Sabemos que . Então:

Passo 4

Parte ©: Vamos calcular .
Primeiro, substituímos por na função original:
Simplificando :
Então:

Passo 5

Parte (d): Queremos encontrar o valor de que faz .
Vamos montar a equação:
Primeiro, isolamos a fração:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Distribuindo o :
Rearranjando a equação:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então . Substituindo:
Resolvendo a equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:
Como não pode ser negativo, descartamos . Então, , portanto:

Resposta

(a)
(b)
©
(d) O valor de que faz é .

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