Calcule f'(x) onde f(x) é igual a: f(x) = e^x / (1 + x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de . Vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente, que é útil quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções. Para isso, precisamos lembrar como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que formam o quociente. No nosso caso:
  • Função de cima (numerador):
  • Função de baixo (denominador):

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções separadamente:
  • Derivada de : (a derivada de é ela mesma)
  • Derivada de : (a derivada de é e a derivada de uma constante é zero)

Passo 4

Com as derivadas encontradas, aplicamos a regra do quociente, que diz:
Substituindo pelas nossas funções:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão do numerador:
Então, substituindo de volta na fórmula:

Resposta

A derivada de é:

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