Verifique que as funções e satisfazem a equação de Laplace

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo a equação de Laplace, que é uma famosa equação diferencial parcial. O enunciado pede para verificar se as funções e satisfazem a equação de Laplace:
Para resolver, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de cada função em relação a e , e então somá-las para verificar se o resultado é igual a zero.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: .
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de em relação a .
A primeira derivada de em relação a é:
Agora, a segunda derivada de em relação a é:

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas parciais de em relação a .
A primeira derivada de em relação a é:
Agora, a segunda derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, somamos as segundas derivadas parciais em relação a e :
Portanto, a primeira função satisfaz a equação de Laplace.

Passo 5

Agora, vamos analisar a segunda função: .
Primeiro, simplificamos a função:
Isso facilita o cálculo das derivadas.

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais de em relação a .
A primeira derivada de em relação a é:
Agora, a segunda derivada de em relação a é:

Passo 7

Calculamos as derivadas parciais de em relação a .
A primeira derivada de em relação a é:
Agora, a segunda derivada de em relação a é:

Passo 8

Somamos as segundas derivadas parciais em relação a e :
Portanto, a segunda função também satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

As duas funções e satisfazem a equação de Laplace:

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