Verifique que as funções
e
satisfazem a equação de Laplace
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo a equação de Laplace, que é uma famosa equação diferencial parcial. O enunciado pede para verificar se as funções
e
satisfazem a equação de Laplace:
Para resolver, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de cada função em relação a
e
, e então somá-las para verificar se o resultado é igual a zero.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
.
A primeira derivada de
em relação a
é:
Agora, a segunda derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Em seguida, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
.
A primeira derivada de
em relação a
é:
Agora, a segunda derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, somamos as segundas derivadas parciais em relação a
e
:
Portanto, a primeira função
satisfaz a equação de Laplace.
Passo 5
Agora, vamos analisar a segunda função:
.
Primeiro, simplificamos a função:
Isso facilita o cálculo das derivadas.
Passo 6
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
.
A primeira derivada de
em relação a
é:
Agora, a segunda derivada de
em relação a
é:
Passo 7
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
.
A primeira derivada de
em relação a
é:
Agora, a segunda derivada de
em relação a
é:
Passo 8
Somamos as segundas derivadas parciais em relação a
e
:
Portanto, a segunda função
também satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
As duas funções
e
satisfazem a equação de Laplace:
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onde
é igual a:
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onde
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