Verifique que as funções f(x, y)=e^-x cos y e f(x, y)=ln (raizx^2+y^2) satisfazem a equação de Laplace
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo a equação de Laplace, que é uma famosa equação diferencial parcial. O enunciado pede para verificar se as funções partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0 e satisfazem a equação de Laplace:
Para resolver, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de cada função em relação a e , e então somá-las para verificar se o resultado é igual a zero.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: partial fpartial x = -e^-x cos y .
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de partial^2 fpartial x^2 = e^-x cos y em relação a .
A primeira derivada de em relação a é:
Agora, a segunda derivada de em relação a é:

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas parciais de partial fpartial y = -e^-x sin y em relação a partial^2 fpartial y^2 = -e^-x cos y .
A primeira derivada de em relação a é:
Agora, a segunda derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, somamos as segundas derivadas parciais em relação a partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = e^-x cos y - e^-x cos y = 0 e :
Portanto, a primeira função satisfaz a equação de Laplace.

Passo 5

Agora, vamos analisar a segunda função: f(x, y) = 12 ln (x^2 + y^2) .
Primeiro, simplificamos a função:
Isso facilita o cálculo das derivadas.

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais de partial fpartial x = 12 cdot 2xx^2 + y^2 = xx^2 + y^2 em relação a partial^2 fpartial x^2 = (x^2 + y^2) - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 .
A primeira derivada de em relação a é:
Agora, a segunda derivada de em relação a é:

Passo 7

Calculamos as derivadas parciais de partial fpartial y = 12 cdot 2yx^2 + y^2 = yx^2 + y^2 em relação a partial^2 fpartial y^2 = (x^2 + y^2) - 2y^2(x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2 .
A primeira derivada de em relação a é:
Agora, a segunda derivada de em relação a é:

Passo 8

Somamos as segundas derivadas parciais em relação a partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 + x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2 = 0 e :
Portanto, a segunda função também satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

As duas funções partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0 e satisfazem a equação de Laplace:

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