Calcule f^prime prime(x), onde
f(x)=integral1^x(integral1^ln (t) raiz2+u^3 du) d t

Passo 1

Beleza, vamos calcular a segunda derivada de f(x) = integral1^x ( integral1^ln t raiz2 + u^3 , du ) dt , ou seja, . A função é definida como uma integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada f'(x) = integral1^ln x raiz2 + u^3 , du . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral em relação ao seu limite superior é a função integranda avaliada nesse limite. Então:
Isso significa que para obter , fixamos o limite superior da primeira integral como e derivamos em relação a .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada f''(x) = ddx ( integral1^ln x raiz2 + u^3 , du ) . Novamente, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar f''(x) = raiz2 + (ln x)^3 cdot ddx (ln x) . Mas atenção: o limite superior da integral de é , que depende de . Então, precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando :
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de ddx (ln x) = 1x em relação a f''(x) = raiz2 + (ln x)^3 cdot 1x , que é:
Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A segunda derivada de f''(x) = raiz2 + (ln x)^3x é:

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