Calcule , onde

Passo 1

Beleza, vamos calcular a segunda derivada de , ou seja, . A função é definida como uma integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral em relação ao seu limite superior é a função integranda avaliada nesse limite. Então:
Isso significa que para obter , fixamos o limite superior da primeira integral como e derivamos em relação a .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Novamente, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar . Mas atenção: o limite superior da integral de é , que depende de . Então, precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando :
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , que é:
Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A segunda derivada de é:

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Um paralelepípedo é formado pelos vetores . Qual é o volume desse paralelepípedo?
Utilizando o teorema fundamental do cálculo (parte 2) calcule as seguintes integrais:
g. .
Nos problemas 1 a 10, calcule cada integral de linha usando a Definiçâo 1.
éçãáééçãáé
Provai as relações abaixo.
b) .