Calcule
, onde
Passo 1
Beleza, vamos calcular a segunda derivada de
, ou seja,
. A função
é definida como uma integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral em relação ao seu limite superior é a função integranda avaliada nesse limite. Então:
Isso significa que para obter
, fixamos o limite superior da primeira integral como
e derivamos em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Novamente, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar
. Mas atenção: o limite superior da integral de
é
, que depende de
. Então, precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando
:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
, que é:
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
A segunda derivada de
é:
Exercícios relacionados
Um paralelepípedo é formado pelos vetores
. Qual é o volume desse paralelepípedo?
Utilizando o teorema fundamental do cálculo (parte 2) calcule as seguintes integrais:
g. .
g.
Nos problemas 1 a 10, calcule cada integral de linha usando a Definiçâo 1.
Provai as relações abaixo.
b) .
b)