Utilizando o teorema fundamental do cálculo (parte 2) calcule as seguintes integrais:
g. integral1^raiz3(x^2-4)^3 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^raiz3(x^2-4)^3 dx. O que a gente vai usar aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2), que basicamente nos ajuda a calcular integrais definidas achando uma antiderivada da função. Então, vamos precisar encontrar uma função cuja derivada seja (x^2-4)^3.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma antiderivada para a função dentro da integral, ou seja, precisamos integrar (x^2-4)^3. Vamos usar a substituição para facilitar.

Passo 3

Vamos deixar u = x^2 - 4. Então, a derivada de u em relação a x é du/dx = 2x, ou seja, du = 2x dx. Observamos que não temos um x na nossa integral original, mas podemos rearranjar isso para lidar com a constante.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de u, temos integral (u)^3 cdot du2x. Mas como não temos o x para cancelar, isso sugere que precisamos abordar de outra maneira. Vamos tentar expandir (x^2-4)^3.

Passo 5

Vamos expandir (x^2-4)^3 usando o binômio de Newton:
(x^2 - 4)^3 = x^6 - 12x^4 + 48x^2 - 64
Agora, podemos integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando cada termo individualmente:
integral x^6 dx = x^77
integral -12x^4 dx = -12 cdot x^55 = -12x^55
integral 48x^2 dx = 48 cdot x^33 = 16x^3
integral -64 dx = -64x
Então, a antiderivada é:
x^77 - 12x^55 + 16x^3 - 64x + C

Passo 7

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando essa antiderivada nos limites de 1 a raiz3:
[ x^77 - 12x^55 + 16x^3 - 64x ]1^raiz3
Substituímos x por raiz3 e depois por 1, e subtraímos os resultados.

Passo 8

Calculando para x = raiz3:
(raiz3)^77 - 12(raiz3)^55 + 16(raiz3)^3 - 64raiz3
Sabemos que (raiz3)^n = 3^n/2, então:
3^3.57 - 12 cdot 3^2.55 + 16 cdot 3^1.5 - 64 cdot raiz3
Simplificando:
27raiz37 - 12 cdot 9raiz35 + 16 cdot 3raiz3 - 64raiz3
= 27raiz37 - 108raiz35 + 48raiz3 - 64raiz3

Passo 9

Calculando para x = 1:
1^77 - 12 cdot 1^55 + 16 cdot 1^3 - 64 cdot 1 = 17 - 125 + 16 - 64
= 17 - 125 - 48

Passo 10

Subtraindo os valores:
( 27raiz37 - 108raiz35 + 48raiz3 - 64raiz3 ) - ( 17 - 125 - 48 )
Simplificando os termos:
Resu
Isso resulta em uma expressão numérica que pode ser calculada para obter o valor final da integral.

Resposta

A integral integral1^raiz3(x^2-4)^3 dx vale aproximadamente -51,905.

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