Utilizando o teorema fundamental do cálculo (parte 2) calcule as seguintes integrais:
g. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . O que a gente vai usar aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2), que basicamente nos ajuda a calcular integrais definidas achando uma antiderivada da função. Então, vamos precisar encontrar uma função cuja derivada seja .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma antiderivada para a função dentro da integral, ou seja, precisamos integrar . Vamos usar a substituição para facilitar.

Passo 3

Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, . Observamos que não temos um na nossa integral original, mas podemos rearranjar isso para lidar com a constante.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de , temos . Mas como não temos o para cancelar, isso sugere que precisamos abordar de outra maneira. Vamos tentar expandir .

Passo 5

Vamos expandir usando o binômio de Newton:
Agora, podemos integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando cada termo individualmente:
Então, a antiderivada é:

Passo 7

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando essa antiderivada nos limites de a :
Substituímos por e depois por , e subtraímos os resultados.

Passo 8

Calculando para :
Sabemos que , então:
Simplificando:

Passo 9

Calculando para :

Passo 10

Subtraindo os valores:
Simplificando os termos:
Isso resulta em uma expressão numérica que pode ser calculada para obter o valor final da integral.

Resposta

A integral vale aproximadamente .

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