Utilizando o teorema fundamental do cálculo (parte 2) calcule as seguintes integrais:
g.
.
g.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. O que a gente vai usar aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2), que basicamente nos ajuda a calcular integrais definidas achando uma antiderivada da função. Então, vamos precisar encontrar uma função cuja derivada seja
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma antiderivada para a função dentro da integral, ou seja, precisamos integrar
. Vamos usar a substituição para facilitar.
Passo 3
Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
. Observamos que não temos um
na nossa integral original, mas podemos rearranjar isso para lidar com a constante.
Passo 4
Reescrevendo a integral em termos de
, temos
. Mas como não temos o
para cancelar, isso sugere que precisamos abordar de outra maneira. Vamos tentar expandir
.
Passo 5
Vamos expandir
usando o binômio de Newton:
Agora, podemos integrar termo a termo.
Passo 6
Integrando cada termo individualmente:
Então, a antiderivada é:
Passo 7
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando essa antiderivada nos limites de
a
:
Substituímos
por
e depois por
, e subtraímos os resultados.
Passo 8
Calculando para
:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Passo 9
Calculando para
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Simplificando os termos:
Isso resulta em uma expressão numérica que pode ser calculada para obter o valor final da integral.
Resposta
A integral
vale aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Derive a função.
Encontrai os vetores conectando os pontos abaixo.
b) e
.
b)
Um paralelepípedo é formado pelos vetores
. Qual é o volume desse paralelepípedo?
Calcule
, onde