Nos problemas 1 a 10, calcule cada integral de linha usando a Definiçâo 1.
l 1 integralC(3 x^2-6 y) d x+(3 x+2 y) d y, onde C:l x=t y=t^2 , 0 <= t <= 1 2 integralC y^2 d x+x^2 d y, onde C:l x=t^2 y=t+1, 0 <= t <= 1 3 integralC x d y-y d x, onde C:l x=2+cos t y=sen t, 0 <= t <= 2 pi 4 integralC 2 x y^3 d x+3 x^2 y^2 d y, onde C é a porção da parábola y=x^2, de (0,0) até (1,1) 5 integralC F cdot d barR, onde barF=(x^2+y^2 bari+2 x y barj e C é a porção da parábola y=x^2, de (0,0) até (1,1) éçãáééçãáé

Passo 1

Beleza, vamos resolver o Problema 1 juntos! A gente precisa calcular a integral de linha:
integralC(3 x^2-6 y) dx + (3x + 2 y) dy
Onde a curva x = t y = t^2 , 0 <= t <= 1 é dada por:
Matéria envolvida: Integrais de Linha usando a definição paramétrica.
O que vamos precisar: Saber parametrizar a curva, calcular e , substituir na integral e integrar em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, queremos somar os valores de uma função ao longo de uma curva . Para isso, usamos a definição paramétrica: expressamos e em termos de um parâmetro .

Passo 3

Como a curva x = t y = t^2 já está parametrizada em termos de , onde varia de 0 a 1, podemos usar essas expressões diretamente:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar dxdt = 1 Rightarrow dx = dt dydt = 2t Rightarrow dy = 2t , dt e em termos de . Vamos derivar e em relação a :

Passo 5

Vamos substituir integralC(3 x^2-6 y) dx + (3x + 2 y) dy = integral0^1 (3 t^2 - 6 t^2) dt + (3 t + 2 t^2) (2t , dt) , 3 t^2 - 6 t^2 = -3 t^2 3 t + 2 t^2 = 3t + 2t^2 , integral0^1 (-3 t^2 + (3t + 2t^2)(2t)) dt e na integral original:
Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos multiplicar os termos dentro do segundo parêntese:
(3t + 2t^2)(2t) = 6t^2 + 4t^3
Substituindo de volta na integral:
integral0^1 (-3 t^2 + 6 t^2 + 4 t^3) dt = integral0^1 (3 t^2 + 4 t^3) dt

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^1 3 t^2 , dt = 3 cdot t^33 |0^1 = t^3 |0^1 = 1 - 0 = 1
integral0^1 4 t^3 , dt = 4 cdot t^44 |0^1 = t^4 |0^1 = 1 - 0 = 1

Passo 8

Somando os resultados das integrais:
1 + 1 = 2

Resposta

O valor da integral de linha é 2.

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