Nos problemas 1 a 10, calcule cada integral de linha usando a Definiçâo 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o Problema 1 juntos! A gente precisa calcular a integral de linha:
Onde a curva
é dada por:
Matéria envolvida: Integrais de Linha usando a definição paramétrica.
O que vamos precisar: Saber parametrizar a curva, calcular
e
, substituir na integral e integrar em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, queremos somar os valores de uma função ao longo de uma curva
. Para isso, usamos a definição paramétrica: expressamos
e
em termos de um parâmetro
.
Passo 3
Como a curva
já está parametrizada em termos de
, onde
varia de 0 a 1, podemos usar essas expressões diretamente:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
e
em termos de
. Vamos derivar
e
em relação a
:
Passo 5
Vamos substituir
,
,
e
na integral original:
Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos multiplicar os termos dentro do segundo parêntese:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Somando os resultados das integrais:
Resposta
O valor da integral de linha é 2.