Um paralelepípedo é formado pelos vetores u = 2 * x - y + 3 * z, v = -x - 2 * y + z e w = 3 * x + y - z. Qual é o volume desse paralelepípedo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o volume de um paralelepípedo formado por três vetores:
Para isso, vamos usar o conceito de produto misto de vetores, que nos ajuda a calcular o volume desse sólido geométrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores:
Aqui, é o produto vetorial entre e , e é o produto escalar entre e o resultado do produto vetorial.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores e é:
Aplicando isso aos vetores e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar de dois vetores é dado por:
Usando isso com e :

Resposta

O volume do paralelepípedo é unidades cúbicas.

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