Provai as relações abaixo.
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a relação entre produtos vetoriais e escalares de três vetores:
,
e
. A fórmula que queremos provar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto vetorial (o “×”) e o produto escalar (o “·”). Também vamos usar uma identidade conhecida como regra do “triângulo de Bac-Cab” que relaciona esses dois produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, por exemplo
, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Já o produto escalar,
, resulta em um número (escalar) que representa a “projeção” de um vetor sobre o outro.
Passo 3
Agora, vamos focar na expressão que queremos provar:
Para simplificar essa expressão, usamos a identidade do produto vetorial triplo, também conhecida como regra de Bac-Cab:
Aqui, substituímos
por
,
por
e
por
.
Passo 4
Aplicando a regra de Bac-Cab à nossa expressão, temos:
Isso mostra que o produto vetorial de
com o produto vetorial de
e
é igual a
vezes
menos
vezes
.
Resposta
Assim, provamos que:
Exercícios relacionados
Nos problemas 1 a 10, calcule cada integral de linha usando a Definiçâo 1.
Calcule
, onde
Calcule as primitivas abaixo:
a. .
a.
Calcule as primitivas abaixo:
d. .
d.