Provai as relações abaixo.
b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar a relação entre produtos vetoriais e escalares de três vetores: , e . A fórmula que queremos provar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto vetorial (o “×”) e o produto escalar (o “·”). Também vamos usar uma identidade conhecida como regra do “triângulo de Bac-Cab” que relaciona esses dois produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, por exemplo , resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. Já o produto escalar, , resulta em um número (escalar) que representa a “projeção” de um vetor sobre o outro.

Passo 3

Agora, vamos focar na expressão que queremos provar:
Para simplificar essa expressão, usamos a identidade do produto vetorial triplo, também conhecida como regra de Bac-Cab:
Aqui, substituímos por , por e por .

Passo 4

Aplicando a regra de Bac-Cab à nossa expressão, temos:
Isso mostra que o produto vetorial de com o produto vetorial de e é igual a vezes menos vezes .

Resposta

Assim, provamos que:

Exercícios relacionados

Nos problemas 1 a 10, calcule cada integral de linha usando a Definiçâo 1.
éçãáééçãáé
Calcule , onde
Calcule as primitivas abaixo:
a. .
Calcule as primitivas abaixo:
d. .