Calcule: f)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular . Estamos lidando com trigonometria, especificamente com funções trigonométricas inversas e a identidade da tangente da soma de dois ângulos. Para resolver, vamos precisar lembrar como lidar com ângulos a partir das funções e , além de usar a fórmula para .

Passo 2

Primeiro, vamos chamar . Isso significa que . Vamos desenhar um triângulo retângulo onde o cateto oposto ao ângulo é 1 e a hipotenusa é 3. Usando o Teorema de Pitágoras, o cateto adjacente será . Então, e .

Passo 3

Agora, vamos chamar . Isso significa que . Vamos desenhar outro triângulo retângulo onde o cateto adjacente ao ângulo é 1 e a hipotenusa é 4. Usando o Teorema de Pitágoras, o cateto oposto será . Então, e .

Passo 4

Agora que temos e , queremos calcular . Usamos a fórmula da tangente da soma de dois ângulos:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:

Passo 6

Agora, juntando numerador e denominador:

Passo 7

Para simplificar ainda mais, podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é :
O denominador fica:
Então:
Podemos deixar a resposta nesse ponto ou expandir o numerador, mas para simplificação, mantemos assim.

Resposta

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Ache e se .
9
Sejam . Expresse cada uma das funções abaixo através das composições de funções escolhidas entre e .
a)
Prove as seguintes identidades: d)
Calcule os seguintes limites: e)