Calcule os seguintes limites: e) lim x 0 7 x^3+x^23 x^3+x^2+x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver esse limite, vamos precisar entender como os termos de menor e maior grau em influenciam o comportamento da função quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador da fração. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é . Quando se aproxima de 0, os termos com maior grau tendem a dominar o comportamento da função.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador e do denominador por 7x^3 + x^23x^3 + x^2 + x = 7 + 1x3 + 1x + 1x^2 , que é o termo de maior grau:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando :
  • tende ao infinito.
  • também tende ao infinito, mas cresce mais rapidamente que .
No entanto, como está se aproximando de 0, esses termos dominam os termos constantes.

Passo 5

Para facilitar, podemos fatorar 7x^3 + x^23x^3 + x^2 + x = x^2(7x + 1)x(3x^2 + x + 1) = x(7x + 1)3x^2 + x + 1 do denominador original:

Passo 6

Agora, substituímos 0 times (7 times 0 + 1)3 times 0^2 + 0 + 1 = 01 = 0 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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