Calcule os seguintes limites: e)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver esse limite, vamos precisar entender como os termos de menor e maior grau em influenciam o comportamento da função quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador da fração. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é . Quando se aproxima de 0, os termos com maior grau tendem a dominar o comportamento da função.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo cada termo do numerador e do denominador por , que é o termo de maior grau:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando :
  • tende ao infinito.
  • também tende ao infinito, mas cresce mais rapidamente que .
No entanto, como está se aproximando de 0, esses termos dominam os termos constantes.

Passo 5

Para facilitar, podemos fatorar do denominador original:

Passo 6

Agora, substituímos na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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Prove as seguintes identidades: d)
Calcule: f)
Calcule os seguintes limites: j)