Prove as seguintes identidades: d)
Passo 1
Beleza! Vamos provar a identidade trigonométrica:
Matéria envolvida: Trigonometria, especificamente identidades trigonométricas como a identidade pitagórica e fórmulas de ângulos duplos.
O que vamos precisar:
- Identidade pitagórica:
- Fórmula do ângulo duplo para seno:
- Manipulação algébrica para simplificar expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que facilite a simplificação. Observe que podemos expressar isso como a soma de cubos:
Teoria aplicada: A soma de dois cubos pode ser fatorada usando a identidade:
Passo 3
Aplicando a identidade da soma de cubos, temos:
Mas sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos simplificar
. Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
Usando a identidade pitagórica novamente:
Portanto,
Passo 5
Substituindo
na expressão anterior:
Passo 6
Agora, vamos relacionar
com
. Sabemos que:
Elevando ao quadrado dos dois lados:
Portanto,
Passo 7
Substituindo
na expressão obtida no Passo 5:
Resposta
A identidade foi comprovada:
Exercícios relacionados
Calcule: f)
10
Ache e
se
.
Ache
Calcule os seguintes limites: e)