Prove as seguintes identidades: d)

Passo 1

Beleza! Vamos provar a identidade trigonométrica:
Matéria envolvida: Trigonometria, especificamente identidades trigonométricas como a identidade pitagórica e fórmulas de ângulos duplos.
O que vamos precisar:
  • Identidade pitagórica:
  • Fórmula do ângulo duplo para seno:
  • Manipulação algébrica para simplificar expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma forma que facilite a simplificação. Observe que podemos expressar isso como a soma de cubos:
Teoria aplicada: A soma de dois cubos pode ser fatorada usando a identidade:

Passo 3

Aplicando a identidade da soma de cubos, temos:
Mas sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos simplificar . Podemos reescrever isso da seguinte maneira:
Usando a identidade pitagórica novamente:
Portanto,

Passo 5

Substituindo na expressão anterior:

Passo 6

Agora, vamos relacionar com . Sabemos que:
Elevando ao quadrado dos dois lados:
Portanto,

Passo 7

Substituindo na expressão obtida no Passo 5:

Resposta

A identidade foi comprovada:

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Calcule: f)
10
Ache e se .
Calcule os seguintes limites: e)