Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de
. Neste problema, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia. Precisamos saber como derivar funções compostas e como trabalhar com funções inversas como a arcosecante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que
é equivalente a
. Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, identificamos que temos uma função do tipo
, onde
e
. Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz:
Passo 4
Vamos encontrar
e
individualmente.
Primeiro,
, então:
Passo 5
Agora, para encontrar
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, então:
Passo 6
Calculando a derivada de
:
Então:
Passo 7
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 8
Podemos simplificar ainda mais a expressão combinando os termos:
Resposta
A derivada de
é: