Calcule f'(x).
f(x) = arccossec(x^3) / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de . Neste problema, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do quociente e a regra da cadeia. Precisamos saber como derivar funções compostas e como trabalhar com funções inversas como a arcosecante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que é equivalente a . Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, identificamos que temos uma função do tipo , onde e . Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que diz:

Passo 4

Vamos encontrar e individualmente.
Primeiro, , então:

Passo 5

Agora, para encontrar , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então:

Passo 6

Calculando a derivada de :
Então:

Passo 7

Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais a expressão combinando os termos:

Resposta

A derivada de é:

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