;

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve termos não lineares em . Para resolver, vamos utilizar uma substituição que simplifique a equação e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir . Assim, derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso nos ajuda a expressar em termos de e .

Passo 3

Substituindo na equação original:
Simplificando os termos:
Como , substituímos:

Passo 4

Rearranjando a equação:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 5

Vamos fazer uma nova substituição para linearizar a equação. Definimos , então:
Substituindo na equação anterior:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 6

Para resolver essa equação linear, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto .

Passo 7

Integralizando ambos os lados:
Portanto:

Passo 8

Lembrando que e , substituímos de volta:
Multiplicando por para simplificar:

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função em .