;
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve termos não lineares em
. Para resolver, vamos utilizar uma substituição que simplifique a equação e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir
. Assim, derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Isso nos ajuda a expressar
em termos de
e
.
Passo 3
Substituindo
na equação original:
Simplificando os termos:
Como
, substituímos:
Passo 4
Rearranjando a equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 5
Vamos fazer uma nova substituição para linearizar a equação. Definimos
, então:
Substituindo na equação anterior:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 6
Para resolver essa equação linear, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
.
Passo 7
Integralizando ambos os lados:
Portanto:
Passo 8
Lembrando que
e
, substituímos de volta:
Multiplicando por
para simplificar:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
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Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função
em
.