Calcule os limites a seguir usando a regra de L lim x pi sen(x+pi2)-cos (3 x)(x-pi)^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite usando a regra de L’Hospital. A matéria aqui envolve limites e derivadas, e vamos precisar aplicar essa regra porque, ao substituir , tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, formando uma indeterminação do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente temos uma indeterminação sin(pi + pi2) = sin(3pi2) = -1 substituindo cos(3pi) = -1 :
Numerador = -1 - (-1) = 0
Denominador = (pi - pi)^2 = 0
Como sim, é , podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que se lim x pi f(x)g(x) = lim x pi f'(x)g'(x) ou , então podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite novamente:
Então, vamos derivar o numerador e o denominador.

Passo 4

Derivando o numerador ddx[sin(x+pi2)] = cos(x+pi2) :
ddx[-cos(3x)] = 3sin(3x)
Derivada do numerador = cos(x+pi2) + 3sin(3x)
ddx[(x - pi)^2] = 2(x - pi)
Derivando o denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:
lim x pi cos(x+pi2) + 3sin(3x)2(x - pi)
Vamos verificar novamente substituindo cos(pi + pi2) = cos(3pi2) = 0 :
3sin(3pi) = 0
Numerador = 0 + 0 = 0
Denominador = 2(pi - pi) = 0
Ainda temos , então aplicamos a regra de L’Hospital novamente.

Passo 6

Derivamos novamente o numerador e o denominador.
Derivando o numerador ddx[cos(x+pi2)] = -sin(x+pi2) :
ddx[3sin(3x)] = 9cos(3x)
Derivada do numerador = -sin(x+pi2) + 9cos(3x)
ddx[2(x - pi)] = 2
Derivando o denominador :

Passo 7

Aplicamos novamente a regra de L’Hospital:
lim x pi -sin(x+pi2) + 9cos(3x)2
Agora, substituímos -sin(pi + pi2) = -sin(3pi2) = -(-1) = 1 :
9cos(3pi) = 9(-1) = -9
Numerador = 1 - 9 = -8
Denominador = 2
-82 = -4
Então, o limite é:

Resposta

O limite é .

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