Calcule os limites a seguir usando a regra de L

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite usando a regra de L’Hospital. A matéria aqui envolve limites e derivadas, e vamos precisar aplicar essa regra porque, ao substituir , tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, formando uma indeterminação do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente temos uma indeterminação substituindo :
Como sim, é , podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que se ou , então podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite novamente:
Então, vamos derivar o numerador e o denominador.

Passo 4

Derivando o numerador :
Derivando o denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:
Vamos verificar novamente substituindo :
Ainda temos , então aplicamos a regra de L’Hospital novamente.

Passo 6

Derivamos novamente o numerador e o denominador.
Derivando o numerador :
Derivando o denominador :

Passo 7

Aplicamos novamente a regra de L’Hospital:
Agora, substituímos :
Então, o limite é:

Resposta

O limite é .

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Mostre que é contínua em :
e
Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir: