Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Passo 1
Beleza, vamos calcular o limite
usando a regra de L’Hospital. A matéria aqui envolve limites e derivadas, e vamos precisar aplicar essa regra porque, ao substituir
, tanto o numerador quanto o denominador se tornam 0, formando uma indeterminação do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se realmente temos uma indeterminação
substituindo
:
Como sim, é
, podemos aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
A regra de L’Hospital diz que se
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite novamente:
Então, vamos derivar o numerador e o denominador.
Passo 4
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo pelas derivadas:
Vamos verificar novamente substituindo
:
Ainda temos
, então aplicamos a regra de L’Hospital novamente.
Passo 6
Derivamos novamente o numerador e o denominador.
Derivando o numerador
:
Derivando o denominador
:
Passo 7
Aplicamos novamente a regra de L’Hospital:
Agora, substituímos
:
Então, o limite é:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
é contínua em
:
e
Calcule os limites a seguir usando a regra de L
Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir: