Resolva os sistemas lineares abaixo pelos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, com epsilon=0.0005 e chute inicial (0, ldots, 0)^T :
r x 1 + x 4 = 2 x 1 + 4 x 2 - x 4 = 4 x 1 = 2 x 3 + x 4 = 2

Passo 1

Vamos resolver o sistema linear usando os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Estamos trabalhando com um sistema de equações lineares que envolve quatro variáveis: e . Para resolver esse sistema, vamos utilizar os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, com uma precisão de e um chute inicial de . Esses métodos são úteis quando o sistema é grande ou quando as soluções exatas são difíceis de encontrar diretamente.

Passo 2

Método de Gauss-Jacobi
Primeiro, vamos aplicar o método de Gauss-Jacobi. Esse método resolve cada equação isolando uma variável e, em seguida, utiliza os valores das iterações anteriores para atualizar todas as variáveis simultaneamente.
Vamos reescrever o sistema isolando cada variável:
  1. |x^(2) - x^(1)| = raiz(0-2)^2 + (1-1)^2 + (0-2)^2 + (0-2)^2 = raiz4 + 0 + 4 + 4 = raiz12 approx 3.464
Agora, utilizamos o chute inicial e aplicamos as iterações até que a diferença entre as soluções consecutivas seja menor que .
Iteração 1:
Usando :
Iteração 2:
Usando :
Verificando a convergência:
Calculamos a diferença entre e :
Como , precisamos continuar as iterações até atingir a precisão desejada.

Passo 3

Método de Gauss-Seidel
Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. Esse método também resolve cada equação isolando uma variável, mas utiliza os valores mais recentes à medida que são atualizados dentro da mesma iteração.
Reescrevemos o sistema de forma similar:
  1. |x^(2) - x^(1)| = raiz(2-2)^2 + (0.5-0.5)^2 + (2-2)^2 + (0-0)^2 = 0
Usando o mesmo chute inicial , aplicamos as iterações.
Iteração 1:
Usando :
Iteração 2:
Usando :
Verificando a convergência:
Calculamos a diferença entre e :
Como , o método de Gauss-Seidel já convergiu para a solução.

Resposta

A solução do sistema linear é:
x = 2 0.5 2 0

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