Resolva os sistemas lineares abaixo pelos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, com e chute inicial :
Passo 1
Vamos resolver o sistema linear usando os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Estamos trabalhando com um sistema de equações lineares que envolve quatro variáveis: e . Para resolver esse sistema, vamos utilizar os métodos iterativos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel, com uma precisão de e um chute inicial de . Esses métodos são úteis quando o sistema é grande ou quando as soluções exatas são difíceis de encontrar diretamente.
Passo 2
Método de Gauss-Jacobi
Primeiro, vamos aplicar o método de Gauss-Jacobi. Esse método resolve cada equação isolando uma variável e, em seguida, utiliza os valores das iterações anteriores para atualizar todas as variáveis simultaneamente.
Vamos reescrever o sistema isolando cada variável:
Agora, utilizamos o chute inicial e aplicamos as iterações até que a diferença entre as soluções consecutivas seja menor que .
Iteração 1:
Usando :
Iteração 2:
Usando :
Verificando a convergência:
Calculamos a diferença entre e :
Como , precisamos continuar as iterações até atingir a precisão desejada.
Passo 3
Método de Gauss-Seidel
Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Seidel. Esse método também resolve cada equação isolando uma variável, mas utiliza os valores mais recentes à medida que são atualizados dentro da mesma iteração.