Vamos resolver o exercício que pede para calcular a fatoração de Cholesky da matriz . A fatoração de Cholesky é usada para decompor uma matriz simétrica e definida positiva em um produto de uma matriz triangular inferior e sua transposta. Para isso, precisamos verificar se a matriz é simétrica e definida positiva, e então encontrar a matriz triangular inferior tal que .
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a matriz é simétrica. Observando os elementos, vemos que é igual à sua transposta:
Portanto, é simétrica.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se é definida positiva. Para isso, calculamos os determinantes dos menores principais:
O primeiro menor é .
O segundo menor é:
O determinante da matriz completa é positivo (calculado como 20,25 > 0).
Como todos os determinantes são positivos, a matriz é definida positiva.
Passo 4
Vamos iniciar a fatoração de Cholesky. Assumimos que é uma matriz triangular inferior:
E queremos que . Vamos encontrar os elementos de passo a passo.