Calcule a fatoração de Cholesky, se possível:
E = ((2.25, -3, 4.5), (-3, 5, -10), (4.5, -10, 34))

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a fatoração de Cholesky da matriz . A fatoração de Cholesky é usada para decompor uma matriz simétrica e definida positiva em um produto de uma matriz triangular inferior e sua transposta. Para isso, precisamos verificar se a matriz é simétrica e definida positiva, e então encontrar a matriz triangular inferior tal que .

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a matriz é simétrica. Observando os elementos, vemos que é igual à sua transposta:
Portanto, é simétrica.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se é definida positiva. Para isso, calculamos os determinantes dos menores principais:
  1. O primeiro menor é .
  2. O segundo menor é:
  1. O determinante da matriz completa é positivo (calculado como 20,25 > 0).
Como todos os determinantes são positivos, a matriz é definida positiva.

Passo 4

Vamos iniciar a fatoração de Cholesky. Assumimos que é uma matriz triangular inferior:
E queremos que . Vamos encontrar os elementos de passo a passo.

Passo 5

Calculamos a partir de :

Passo 6

Calculamos a partir de e :

Passo 7

Calculamos usando , e :

Passo 8

Calculamos a partir de e :

Passo 9

Calculamos usando , e :

Passo 10

Finalmente, calculamos usando , e :

Resposta

A fatoração de Cholesky da matriz é:

Exercícios relacionados